2、考克斯特群与蒂茨系统解析

考克斯特群与蒂茨系统解析

1. 考克斯特群的基本性质

从现在起，我们假定集合 (S) 中的元素的阶都为 2。若一个二元组 ((W, S)) 满足以下条件，就称其为考克斯特系统：
- 对于 (S) 中的元素 (s) 和 (s’)，设 (m(s, s’)) 是 (ss’) 的阶，(I) 是所有使得 (m(s, s’)) 为有限值的元素对 ((s, s’)) 构成的集合。生成集 (S) 以及对于 ((s, s’) \in I) 满足的关系 ((ss’)^{m(s, s’)} = 1) 构成了群 (W) 的一个表示。
当 ((W, S)) 是考克斯特系统时，我们也会称 (W) 是考克斯特群。

下面是一些考克斯特群的例子：
- 二面体群 ：设 (m) 是一个大于等于 2 的整数或者为无穷大。当 (m = \infty) 时，群 (W) 由生成集 (S = { s, s’}) 以及关系 (s^2 = s’^2 = 1) 定义；当 (m) 为有限值时，群 (W) 由生成集 (S = { s, s’}) 以及关系 (s^2 = s’^2 = (ss’)^m = 1) 定义。考虑二面体群 (D_m) 以及其中由 (7) 定义的元素 (p) 和 (p’)，由于 (p^2 = p’^2 = 1) 且当 (m) 为有限值时 ((pp’)^m = 1)，所以存在一个从 (W) 到 (D_m) 的唯一同态 (f)，使得 (f(s) = p) 且 (f(s’) = p’)。因为 (pp’) 的阶为 (m)，所以 (ss’) 的阶也为 (m)。由此可知，((W, S)) 是考克斯特系统，(W) 是阶为 (2m) 的二面体群，并且 (f) 是一个同构。通过结构转移，