22、基础算法：排序、递归与复杂度分析

基础算法：排序、递归与复杂度分析

1. 排序算法比较

排序算法在计算机科学中占据着重要地位，不同的排序算法具有不同的特性。以下是一些常见排序算法的比较：
| 排序名称 | 作者及创作日期 | 稳定性 | 自然行为 | 渐近复杂度 | 优缺点 |
| — | — | — | — | — | — |
| 插入排序 | J. von Neumann，1945 年 | 是 | 是 | (A(N) = \frac{N^2}{4} + O(N))，(W(N) = \frac{N^2}{2} + O(N)) | 思想和实现简单，但对于大数组效率低 |
| 冒泡排序 |… |… |… |… |… |

插入排序由 J. von Neumann 在 1945 年提出，它具有稳定性和自然行为。其平均情况和最坏情况的渐近复杂度都与 (N^2) 相关，这意味着随着数组规模的增大，插入排序的效率会显著下降。

2. 递归关系与复杂度分析

2.1 递归关系的求解

在算法分析中，递归关系常常用于描述算法的复杂度。例如，对于某个算法，假设基本操作是第 7 行的整数乘法，那么操作次数 (T(n)) 满足以下递归关系：

T(n) = T(n - 1) + 1, n > 1
T(1) = 0

通过直接代入可以验证，该递归关系的解为 (T(n) = n - 1)。这表明该算法的计算复杂度为 (O(n))。

2.2 其他递归关系示例

还有一些递归关系的求解更为复杂。例如，确定加法操作次数的递归关系：

T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1, n > 2
T(1) = 0, T(2) = 0

其解为 (T(n) = F_n - 1)，其中 (F_n) 是斐波那契数。由此可以估计 (T(n) = \Theta(\phi^n))，其中 (\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2})。

2.3 利用主定理求解递归关系

对于一些特定形式的递归关系，可以使用主定理进行求解。例如，对于函数 (\log_2) 向下取整的递归调用，每次递归调用执行一次加法操作，加法次数 (T(n)) 满足以下递归关系：

T(n) = T(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor) + 1, n > 1
T(1) = 0

考虑参数 (a = 1)，(b = 2) 和函数 (f(n) = 1)，利用主定理可以得到 (T(n) = \Theta(\log_2 n))。实际上，精确解为 (T(n) = \lfloor\log_2 n\rfloor)，可以通过数学归纳法证明。

3. 行列式计算与复杂度

3.1 行列式展开计算

行列式的计算是线性代数中的重要内容，在算法中也有应用。例如，对于一个 (n\times n) 的矩阵，通过按第一行展开行列式，可以得到一系列子行列式的计算。以一个 (4\times4) 的矩阵为例：

det A = 1 · det
⎡
⎣
6 7 8
10 11 12
14 15 16
⎤
⎦
− 2 · det
⎡
⎣
5 7 8
9 11 12
13 15 16
⎤
⎦
+ 3 · det
⎡
⎣
5 6 8
9 10 12
13 14 16
⎤
⎦
− 4 · det
⎡
⎣
5 6 7
9 10 11
13 14 15
⎤
⎦

通过逐步展开和计算子行列式，可以得到最终的行列式值。但对于较大的矩阵，这种计算方法的计算量会非常大。

3.2 行列式计算的递归关系

对于 (n\times n) 矩阵的行列式计算，乘法操作次数 (T(n)) 满足以下递归关系：

T(n) = nT(n - 1) + n, n > 1
T(1) = 0

通过代入法求解该递归关系：

T(n) = nT(n - 1) + n
= n[(n - 1)T(n - 2) + n - 1] + n
= n(n - 1)T(n - 2) + n(n - 1) + n
=...
= n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k!}

当 (n\to\infty) 时，(\sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k!} \to e - 1)，因此 (T(n) = \Theta(n!))。

3.3 行列式计算的优化

为了减少行列式计算的复杂度，可以对算法进行优化。例如，在按第一行展开矩阵 (A) 时，添加对元素 (a[1, i]) 是否为零的检查。如果 (a[1, i] = 0)，则直接跳过该元素，继续处理下一个元素。这样可以减少递归调用的次数，从而减少乘法操作的次数。

优化后的算法中，乘法操作次数 (T(n)) 满足以下递归关系：

T(n) = p(nT(n - 1) + n), n > 1
T(1) = 0

其中 (p) 是平均递归调用的比例。最终可以得到 (T(n) = \Theta(p^n n!))。

4. 搜索算法与复杂度

4.1 斐波那契搜索

斐波那契搜索是一种在有序数组中进行搜索的算法。其平均情况下的比较操作次数 (A(N)) 满足以下递归关系：

A(N) = \frac{1}{\phi} A(\frac{1}{\phi} N) + \frac{1}{\phi^2} A(\frac{1}{\phi^2} N) + 1, N > 1
A(1) = 1

其中 (\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2})。可以证明 (A(N) = \frac{\phi}{\sqrt{5}} \log_{\phi} N + O(1))，这表明斐波那契搜索的平均情况渐近复杂度与对数相关。

4.2 斐波那契搜索的决策树

对于包含八个元素的有序数组，斐波那契搜索的决策树如下：

graph TD;
    A[list[5]] --> B[list[3]];
    A --> C[list[7]];
    B --> D[list[2]];
    B --> E[list[4]];
    D --> F[list[1]];
    C --> G[list[6]];
    C --> H[list[8]];

这个决策树展示了斐波那契搜索在该数组中的搜索过程。

5. 排序算法的操作与分析

5.1 插入排序

插入排序的操作过程可以通过一个示例来展示。对于数组 [20, 12, 18, 16, 24, 10, 22, 14] ，插入排序的升序和降序操作如下：
| 操作 | 步骤 | 数组状态 |
| — | — | — |
| 升序 | 初始 | [20, 12, 18, 16, 24, 10, 22, 14] |
| 升序 | 第一轮 | [12, 20, 18, 16, 24, 10, 22, 14] |
| 升序 | 第二轮 | [12, 18, 20, 16, 24, 10, 22, 14] |
|… |… |… |
| 降序 | 初始 | [20, 12, 18, 16, 24, 10, 22, 14] |
| 降序 | 第一轮 | [20, 12, 18, 16, 24, 10, 22, 14] |
| 降序 | 第二轮 | [20, 18, 12, 16, 24, 10, 22, 14] |
|… |… |… |

5.2 插入排序的逆序对分析

在插入排序中，逆序对的数量与比较操作的次数密切相关。设 (I) 是原数组的逆序对数量，(I^ ) 是逆序数组的逆序对数量。可以通过计算 (2(I + I^ )) 来得到 (I^*) 的值：

2(I + I^*) = \sum_{i = 1}^{N} [(N - 1) - (k_l - 1)] = N(N - 1) - \sum_{l = 1}^{m} k_l(k_l - 1)
I^* = \frac{1}{2} [N(N - 1) - \sum_{l = 1}^{m} k_l(k_l - 1)] - I

其中 (k_l) 是等价类 (E_l) 的元素个数。如果数组中的元素都不同，则 (I^* = \frac{N(N - 1)}{2} - I)。

5.3 插入排序的比较次数

插入排序的比较次数 (C) 与逆序对数量 (I) 之间的关系为 (C = I + O(N))。这表明插入排序的比较次数主要取决于数组中的逆序对数量。

5.4 选择排序与希尔排序

选择排序的比较次数不依赖于数组的有序程度，其渐近复杂度为 (\Theta(N^2))。希尔排序则是对选择排序的一种改进，它通过使用不同的增量 (h_s) 对数组进行分组排序。

希尔排序的最坏情况渐近复杂度 (W(N)) 可以通过以下公式计算：

W(N) = \sum_{s = 0}^{s_{max}} h_s \Theta((\frac{N}{h_s})^2) = \Theta(N^2 \sum_{s = 0}^{s_{max}} \frac{1}{h_s})

其中 (h_s) 是应用的增量。由于 (1 < \sum_{s = 0}^{s_{max}} \frac{1}{h_s} < H_N)（(H_N) 是调和数），因此 (W(N) = \Omega(N^2))。

5.5 希尔排序的增量选择

希尔排序的效率与增量的选择密切相关。例如，Pratt 建议的增量集合 (H = {2^i 3^j : 2^i 3^j < N) 且 (i, j \in N \cup {0}})。对于给定的 (N)，集合 (H) 的基数与不等式 (i \ln 2 + j \ln 3 < \ln N) 在非负整数中的解的数量相关。

希尔排序在不同增量阶段的比较次数分析如下：
- 当 (h_s \geq \frac{N}{6}) 时，每个子数组的大小不超过 (\lfloor\frac{N}{h_s}\rfloor)，因此每个子数组的逆序对数量不超过 (\frac{1}{2} \lfloor\frac{N}{h_s}\rfloor (\lfloor\frac{N}{h_s}\rfloor - 1))。考虑到不等式 (\lfloor\frac{k}{m}\rfloor \leq \frac{k + m - 1}{m})，可以得到该阶段的总比较次数为 (O(N))。
- 当 (h_s < \frac{N}{6}) 时，数组在该阶段是 (3h_s) 和 (2h_s) 有序的。因此，每个子数组中的任意元素 (list[k]) 最多形成一个逆序对。对于 (h_s) 个子数组的排序，最多需要 (2 \lfloor\frac{N}{h_s}\rfloor h_s = O(N)) 次比较。

综上所述，对于任意增量 (h_s \in H)，对应的数组元素比较操作次数为 (O(N))。考虑到 (|H| = \Theta((\log_2 N)^2))，可以得到希尔排序在最坏情况下的比较次数为 (O(N (\log_2 N)^2))。同时，通过分析辅助插入排序的比较次数，可以得到希尔排序在最坏情况下的比较次数的下界为 (\Omega(N))。因此，希尔排序在最坏情况下的比较次数满足 (W(N) = \Theta(N (\log_2 N)^2))。

6. 排序算法的其他特性与优化

6.1 排序算法的稳定性

排序算法的稳定性是指在排序过程中，相等元素的相对顺序保持不变。插入排序是稳定的排序算法，这意味着如果数组中有两个相等的元素，在排序后它们的相对顺序不会改变。而有些排序算法，如选择排序，是不稳定的。

6.2 排序算法的自然行为

自然行为是指排序算法在处理接近有序的数组时是否能更高效地工作。插入排序具有自然行为，当数组已经接近有序时，插入排序的比较和移动操作会显著减少，效率会大大提高。

6.3 排序算法的优化策略

除了前面提到的行列式计算和希尔排序的优化策略外，还有一些通用的排序算法优化方法：
- 提前终止 ：在某些排序算法中，如果在某一轮排序中没有发生元素交换，说明数组已经有序，可以提前终止排序过程，减少不必要的操作。
- 小数组处理 ：对于小规模的数组，简单的排序算法（如插入排序）可能比复杂的排序算法（如快速排序）更高效。因此，可以在排序过程中，当子数组的规模小于某个阈值时，切换到简单的排序算法。

7. 选择算法与复杂度

7.1 选择第 k 大元素的问题

在一个数组中选择第 k 大的元素是一个常见的问题。可以通过排序数组，然后直接找到第 k 大的元素，但这种方法的时间复杂度较高。有一种更高效的算法，称为 SelectOpt 算法。

7.2 SelectOpt 算法的复杂度分析

SelectOpt 算法的复杂度可以用以下递归关系描述：

T(N) = T(\frac{N}{w}) + T(\frac{3N}{4}) + \Theta(N), N > w
T(1), T(2),..., T(w) — const

根据前面的结论，要使 (T(N) = \Theta(N))，需要满足不等式 (\frac{1}{w} + \frac{3}{4} < 1)。解这个不等式可得 (w > 4)。因此，当 (w > 4) 时，SelectOpt 算法确定第 k 大元素的渐近复杂度是线性的。

7.3 确定不超过第 k 大元素的集合

可以设计一个算法来确定数组中不超过第 k 大元素的集合。该算法的数组元素比较操作次数应该是数组大小的线性函数。具体步骤如下：
1. 使用 SelectOpt 算法找到数组中的第 k 大元素。
2. 遍历数组，将所有不超过第 k 大元素的元素加入到结果集合中。

这个算法的时间复杂度主要由 SelectOpt 算法和遍历数组的操作决定，因此是线性的。

8. 算法复杂度的总结与比较

8.1 常见算法复杂度总结

算法类型	平均复杂度	最坏复杂度	稳定性	自然行为
插入排序	(O(N^2))	(O(N^2))	是	是
选择排序	(O(N^2))	(O(N^2))	否	否
希尔排序（Pratt 增量）	(O(N (\log_2 N)^2))	(O(N (\log_2 N)^2))	否	是
斐波那契搜索	(O(\log_{\phi} N))	-	-	-
SelectOpt 算法（(w > 4)）	(O(N))	(O(N))	-	-

8.2 复杂度比较分析

从复杂度的角度来看，不同的算法适用于不同的场景：
- 对于小规模数组，插入排序和选择排序由于其实现简单，可能是一个不错的选择。
- 对于大规模数组，希尔排序和 SelectOpt 算法在复杂度上更有优势。
- 斐波那契搜索在有序数组的搜索中具有较好的性能。

通过对这些算法的复杂度分析和比较，可以根据具体的问题需求选择最合适的算法。

9. 算法复杂度分析的重要性

9.1 指导算法设计

算法复杂度分析可以帮助我们评估不同算法的性能，从而在设计算法时做出更明智的选择。例如，在设计排序算法时，如果需要处理大规模的数组，就应该避免使用复杂度为 (O(N^2)) 的算法，而选择复杂度更低的算法。

9.2 优化现有算法

通过分析算法的复杂度，可以找到算法中的瓶颈，从而进行优化。例如，在行列式计算中，通过添加元素是否为零的检查，减少了递归调用的次数，降低了算法的复杂度。

9.3 评估算法性能

在实际应用中，算法的复杂度可以作为评估算法性能的重要指标。通过比较不同算法的复杂度，可以选择最适合当前问题的算法，提高系统的性能和效率。

算法复杂度分析流程

graph TD;
    A[确定算法基本操作] --> B[建立递归关系];
    B --> C[求解递归关系];
    C --> D[得到算法复杂度];
    D --> E[评估算法性能];
    E --> F[根据结果优化或选择算法];

总之，算法复杂度分析是计算机科学中非常重要的一部分，它贯穿于算法的设计、优化和评估过程中。通过对不同算法的复杂度分析和比较，可以更好地理解算法的性能特点，从而在实际应用中做出更合理的选择。