18、图灵机与算法渐近分析

图灵机与算法渐近分析

一、图灵机基础

1.1 图灵机计算函数的条件

图灵机 (T_f) 正确计算函数 (f(x)) 需要满足以下条件：
- 若 (f(x)) 未定义，要么 (T_f(C(x))) 不是 (Z_0) 中任何数的编码，要么图灵机 (T_f) 不适用于单词 (C(x))。
- (T_f) 能计算函数 (f(x))。
- 初始时刻，读写头观察单词 (C(x)) 的最左单元，停止时观察 (C(f(x))) 的最左单元。

1.2 丘奇 - 图灵论题

任何算法都可以借助某个图灵机来实现。不过，丘奇 - 图灵论题无法被证明，因为它建立了图灵机可解决的严格定义的问题类与算法的非正式概念之间的等价关系。

1.3 其他形式化算法的方法

图灵机并非形式化算法概念的唯一方式，还有其他类似方法能得到等价结果，例如波斯特机和马尔可夫正规算法。波斯特机是一种抽象计算机器，与图灵机的主要区别在于命令方案不同。马尔可夫正规算法通过形如 (U → V) 或 (U → •V) 的替换公式来描述符号串的变换方法，其中 (U) 和 (V) 是字母表中的任意单词，“•” 表示算法操作的完成。

1.4 图灵机问题求解

1.4.1 问题示例

给出了多个关于图灵机的问题，例如判断图灵机是否适用于给定单词，并确定最终配置。以下是部分问题：
- 设图灵机 (T) 由程序 (\varGamma) 定义：

Γ
q1  q2
0  q20R  q10R
1  q