15、递归关系：原理、方法与应用

递归关系：原理、方法与应用

1. 递归关系的定义

递归关系是一种定义函数 (f(n))（(n \in N)）的方法，它满足以下两个条件：
- 对于自然数集 (N) 的某个子集 (N_m = {1, 2, \ldots, m})，函数 (f(n)) 的值以显式形式给出，即 (f(1) = a_1)，(f(2) = a_2)，(\ldots)，(f(m) = a_m)。
- 对于 (N \setminus N_m) 中的参数 (k)，函数的值由 (f(i))（(i = 1, 2, \ldots, k - 1)）根据指定规则表示。

这样构造的函数称为递归函数，其函数值的集合也称为递归序列。递归序列又可分为有限历史序列和全历史序列：
- 有限历史序列：序列的每一项明确依赖于固定数量的前几项。
- 全历史序列：序列的第 (n) 项 (a_n) 依赖于所有 (a_i)（(1 \leq i \leq n - 1)）。

2. 递归关系的分析方法

在分析算法时，经常需要研究递归定义的序列。主要的分析方法有以下三种：
- 代入法 ：
- 步骤：在递归关系 (a_n) 的右侧，将 (a_{n - 1})，(a_{n - 2}) 等逐步用 (a_{n - 2})，(a_{n - 3}) 等表示，直到能确定 (a_n) 的公式。然后使用数学归纳法证明得到的公式。
- 示例：对于递归关系 (a_n = a_{n - 1} + f_n)（(n > 1)，(a_1 = 1)），通过不断代入可得 (a_n = 1 + \sum_{i = 2}^{n} f_i)。
-