14、复数：概念、运算与应用

复数：概念、运算与应用

1. 复数的基本概念

复数 (z) 是由两个实数 (a) 和 (b) 组成的有序对 ((a, b))，其中 (a, b \in R)。(a) 被称为复数 (z) 的实部，记作 (Re z)；(b) 被称为复数 (z) 的虚部，记作 (Im z)。

当虚部 (b = 0) 时，复数 ((a, 0)) 等同于实数 (a)，这意味着所有实数的集合 (R) 是复数集合 (C) 的一个子集。

两个复数 (z_1 = (a_1, b_1)) 和 (z_2 = (a_2, b_2)) 相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即 (z_1 = z_2 \Leftrightarrow a_1 = a_2) 且 (b_1 = b_2)。

2. 复数的运算

• 加法 ：对于复数 (z_1 = (a_1, b_1)) 和 (z_2 = (a_2, b_2))，它们的和 (z = z_1 + z_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2))。
• 乘法 ：(z_1 = (a_1, b_1)) 和 (z_2 = (a_2, b_2)) 的乘积 (z = (a, b))，其中 (a = a_1a_2 - b_1b_2)，(b = a_1b_2 + a_2b_1)。

特别地，有序对 ((0, 1)) 被记作 (i)，称为虚数单位，它具有基本性质 (i^2 = -1)。任何复数 (z = (a, b)) 都可以表示为 (z = a + ib) 的形式，这被称为复数的代数形式。在进行复数运算时，可以像