9、组合数学知识详解

组合数学知识详解

1. 帕斯卡三角形相关性质

• 偶数性质证明 ：对于帕斯卡三角形中第 (2n) 行（(n = 2, 3, 4, \cdots) ），除了第一个和最后一个数（值为 1）外，其余数均为偶数。我们使用数学归纳法证明。设 (P(n)) 为“(C(2n, i))（(i = 1, \cdots, 2n - 1)）为偶数”这一谓词。
  • 基础步骤 ：当 (n = 1) 时，(C(2n, i) = C(2, i))，对于 (i = 1)，(C(2, 1) = 2) 是偶数，所以 (P(1)) 为真。
  • 归纳步骤 ：假设 (C(2k, i)) 是偶数，考虑 (C(2k + 1, i) = C(2\cdot2k, i))。我们有辅助恒等式 (C(2n, i) = \sum_{j = 0}^{n}C(n, j)C(n, i - j))，由 ((1 + x)^{2n} = (1 + x)^{n}(1 + x)^{n}) 两边 (x^i) 的系数相等可得 (C(2\cdot2k, i) = \sum_{j = 0}^{2k}C(2k, j)C(2k, i - j))。根据归纳假设，(C(2k, i)) 是偶数，偶数的和是偶数，所以 (C(2k + 1, i))（(i = 1, \cdots, 2k - 1)）是偶数。对于 (i = 2k + 1, \cdots, 2k + 1 - 1)，利用二项式系数的对称性 (C(2\cdot2k, i) = C(2\cdot2k, 2\cdot2k - i)) 可知这些数也是偶数。最后检查 (i = 2k) 时，(