7、关系与函数相关问题解析

关系与函数相关问题解析

1. 问题提出

• 生日重合问题
  • 多少申请者进入同一学院时，至少有两人的生日会重合？答案是 367 名申请者。因为一年最多 366 天（闰年），当有 367 人时，必然会有至少两人在同一天生日。
  • 多少申请者进入同一学院时，会有 25 人出生在同一个月？答案是 24×12 + 1 = 289 名申请者。假设每个月都有 24 人出生，再多 1 人就必然会使某个月有 25 人出生。
• 骰子点数和问题 ：三个骰子至少要投掷多少次，才能保证点数之和至少出现两次？三个骰子点数之和最小为 3（三个 1），最大为 18（三个 6），所以点数和的可能取值集合 B = {3, …, 18}，|B| = 16 个元素。根据鸽巢原理，若投掷 17 次，点数和至少会重复两次，所以至少要投掷 17 次。
• 电影开头字母问题 ：视频租赁店至少要有多少部电影，才能保证有四部电影的名字以相同字母开头？设 B 为英文字母集，|B| = 26。设函数 f : A → B 将电影与其名字的首字母关联，A 为视频租赁店的所有电影。根据鸽巢原理，当 |A| > k|B|（k = 3）时，至少有 k + 1 条记录以相同字母开头，所以 |A| > 3×26 = 78，即至少要有 79 部电影。
• 数字组合问题
  • 设 U = {1, 2, …, 20}，从 U 中取多少个奇数，才能保证至少有