6、关系与函数：原理、特性及应用

关系与函数：原理、特性及应用

1. 关系的基本概念

1.1 二元关系的定义

二元关系是集合研究中的重要概念。设集合 (A) 和 (B)，它们元素间的二元关系 (R) 是直积 (A \times B) 的子集。若 (A = B)，则称 (R) 是集合 (A) 上的关系。通常，除了用 ((x, y) \in R) 表示元素间的关系，还常用 (x R y) 这种简洁记法。

1.2 关系的逻辑矩阵表示

对于有限集合 (A = {x_1, x_2, \ldots, x_n}) 和 (B = {y_1, y_2, \ldots, y_m})，关系 (R) 在 (A \times B) 上的逻辑矩阵 (M) 是一个 (n \cdot m) 大小的矩阵。当 ((x_i, y_j) \in R) 时，矩阵元素 (M_{ij} = T)；当 ((x_i, y_j) \notin R) 时，(M_{ij} = F)。

1.3 关系的表示方法

有限集合元素间的二元关系有多种表示方式：
- 有序对列表 ：直接列出满足关系的有序对。
- 谓词表示 ：使用合适的谓词来描述关系。
- 逻辑矩阵 ：如上述定义，用矩阵元素的真假表示关系。
- 有向图（digraph） ：图的顶点对应集合元素，边连接满足关系的元素对。

1.4 示例

设集合 (A = {1, 2, 3}) 和 (B = {a, b, c, d})，