5、集合论基础与应用解析

集合论基础与应用解析

1. 集合等式判断

1.1 等式判断问题提出

判断以下等式是否成立：
1. ((A × B) × C = A × (B × C))
2. ((A × B) × (C × D) = A × (B × C) × D)
对于任意集合 (A)、(B)、(C) 和 (D)，答案是这些等式不成立。

1.2 集合等式判断示例

例如，设 (A = {1})，(B = {2})，(C = {3})。
- 计算 ((A × B) × C)：
- 先算 (A × B = {(1, 2)})，再算 ((A × B) × C = {((1, 2), 3)})。
- 计算 (A × (B × C))：
- 先算 (B × C = {(2, 3)})，再算 (A × (B × C) = {(1, (2, 3))})。
可以明显看出 ((A × B) × C \neq A × (B × C))。

2. 特征向量相关计算

2.1 特征向量计算示例一

设全集 (U = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13})，子集 (A = {1, 5, 7, 11})，(B = {3, 5, 7, 9, 13})。
- 特征向量计算 ：
- 集合 (A) 的特征向量 (a = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0))。
- 集合 (B) 的特征向量 (b = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1))。
- 交集特征向量及元素