7、伪一致模与Kleene代数的深入研究

伪一致模与Kleene代数的深入研究

1. 伪一致模的基本性质

伪一致模是一种重要的代数结构，在研究其性质时，我们先从其结合性、中性元素和单调性等方面入手。

设 (x, y, z \in L)，若 (x, y, z \in L_e)，有：
[
\begin{align }
U_e(x, U_e(y, z)) &= \varphi^{-1}(T(\varphi(x), T(\varphi(y), \varphi(z))))\
&= \varphi^{-1}(T(T(\varphi(x), \varphi(y)), \varphi(z)))\
&= U_e(U_e(x, y), z)
\end{align }
]
同理，若 ({x, y, z} \subseteq L_e)，也有 (U_e(x, U_e(y, z)) = U_e(U_e(x, y), z))。对于 (U_T^e) 也满足结合性，即 (U_T^e(x, U_T^e(y, z)) = \top = U_T^e(U_T^e(x, y), z))。

对于中性元素，设 (x \in L)，当 (x \in L_e) 时，(U_T^e(x, e) = \varphi^{-1}(T(\varphi(x), \varphi(e))) = \varphi^{-1}(T(\varphi(x), \top)) = x)，且 (U_T^e(e, x) = x)；当 (x \in L_e) 时，(U_T^e(x, e) = x \vee e = x = U_T^e(e, x))；其他情况 (U_T^e(x, e) =