49、组合逻辑设计中的加法器、减法器与算术逻辑单元

组合逻辑设计中的加法器、减法器与算术逻辑单元

1. 超前进位加法器

1.1 基本原理

二进制加法器第 (i) 位的和位逻辑方程可简单表示为 (s_i = x_i \oplus y_i \oplus c_i)。当展开 (c_i) 时，会引入更多复杂性，不过若不展开异或运算，可借助超前进位的思想简化 (c_i) 逻辑设计。

超前进位逻辑有两个关键定义：
- 进位生成 ：对于特定的输入 (x_i) 和 (y_i) 组合，若加法器第 (i) 级独立于 (x_0 – x_{i−1})、(y_0 – y_{i−1}) 和 (c_0) 产生进位输出 (c_{i+1} = 1)，则称该级生成进位。
- 进位传播 ：对于特定的输入 (x_i) 和 (y_i) 组合，若加法器第 (i) 级在 (x_0 – x_{i−1})、(y_0 – y_{i−1}) 和 (c_0) 的输入组合导致进位输入 (c_i = 1) 时产生进位输出 (c_{i+1} = 1)，则称该级传播进位。

1.2 逻辑方程

对应上述定义，可写出超前进位加法器每一级的进位生成信号 (g_i) 和进位传播信号 (p_i) 的逻辑方程：
- (g_i = x_i \cdot y_i)
- (p_i = x_i + y_i)

每一级的进位输出可表示为 (c_{i+1} = g_i + p_i \cdot c_i)。为消除进位波纹，递归展开每一级的 (c_i) 项并相乘，可得到前四级加法器的进位方程：
- (c_1 = g_0 + p_0 \cdo