14、基于稀疏性的盲解卷积：正则化器选择与实验分析

基于稀疏性的盲解卷积：正则化器选择与实验分析

1. 正则化器的选择

在盲解卷积中，选择合适的正则化器至关重要，它能帮助我们避免平凡解，提高解卷积的效果。下面将介绍两种不同领域的正则化器：导数域正则化器和小波域正则化器。

1.1 导数域正则化器

之前提出的 $R_s(x)$ 对于 2a 和 2b 类型的图像效果不佳，因为一阶差分中的单个分量值较低。为了确保不等式成立，我们可以让不等式右边的分母足够大。对于 2 类型的图像，一阶差分很稀疏，而二阶差分能增加差分信号中分量的值。因此，我们选择图像二阶导数的 $l_2$ 范数作为更合适的归一化因子，得到修改后的正则化器：
[R_{ds}(x) = \frac{l_1(Dx)}{l_2(D^2x)}]
其中，$D^2x$ 是图像 $x$ 的二阶差分。对于这个范数，不等式变为：
[\frac{\sum_{n} sgn(y’(n))d(n)}{\sum_{n} |y’(n)|} > \frac{\sum_{n} y’‘(n)d’(n)}{\sum_{n} y’‘^2(n)}]
由于 $y’‘(n)$ 的元素绝对值比 $y’(n)$ 大，所以即使对于 2b 类型的图像，这个不等式也能满足。通过绘制 $R_{ds}(.)$ 的变化图（图 7.4），我们从实验上验证了这一点。

从图 7.4 还可以看出，二阶导数的 $l_2$ 范数下降得足够快，使得导数的 $l_1$ 范数与二阶导数的 $l_2$ 范数之比是一个单调递增函数，这使得它适合作为图像的正则化器。对于 2b 类型的图像，$R_{ds}(x)$ 的代价变化范围比之前提出的范数大得多，因此它比 $R_s(x)$ 更适合作为正则