33、系统辨识：ERA与OKID方法详解

系统辨识：ERA与OKID方法详解

1. 系统辨识概述

系统辨识是一种纯数据驱动的方法，与已知系统模型（A, B, C, D）的模型降阶不同。它可以被视为机器学习的一种形式，通过训练数据学习系统的输入 - 输出映射，并将其推广到训练集之外的数据。系统辨识有众多方法，如自回归移动平均（ARMA）、带外生输入的自回归移动平均（ARMAX）模型、带外生输入的非线性自回归移动平均（NARMAX）模型以及SINDy方法等。本文重点介绍特征系统实现算法（ERA）和观测器卡尔曼滤波器辨识（OKID）方法，因为它们与平衡模型降阶相关，并且在高维系统（如航空航天结构的振动控制和闭环流动控制）中有成功应用，同时也适用于多输入多输出（MIMO）系统。

2. 特征系统实现算法（ERA）

ERA基于Ho和Kalman的“最小实现”理论，通过脉冲响应实验的传感器测量数据生成低维线性输入 - 输出模型。现代理论最初用于识别各种航天器的结构模型，且Ma等人证明了ERA模型与BPOD模型等价。ERA完全基于脉冲响应测量，无需模型的先验知识。

2.1 离散时间系统

考虑离散时间系统：
[
\begin{cases}
x_{k + 1} = A_dx_k + B_du_k \
y_k = C_dx_k + D_du_k
\end{cases}
]
当输入为离散时间δ函数时：
[
u_{\delta k} \triangleq u_{\delta}(k\Delta t) =
\begin{cases}
I, & k = 0 \
0, &