31、线性控制理论中的鲁棒控制与频域技术

线性控制理论中的鲁棒控制与频域技术

在控制理论的发展历程中，传统的状态空间系统描述方法在稳定性分析和设计方面发挥了重要作用。然而，LQG 调节器在稳定性裕度方面存在不足，对模型不确定性、时间延迟等因素较为敏感。为了解决这些问题，鲁棒控制理论应运而生。本文将深入探讨鲁棒控制与频域技术，包括频域技术的基本原理、频率响应、性能评估以及鲁棒控制的设计方法等内容。

频域技术基础

频域技术在理解和管理控制系统的鲁棒性与性能之间的权衡方面具有重要作用。其中，拉普拉斯变换是连接时域（状态空间）和频域的桥梁。

拉普拉斯变换的定义为：
[L{f (t)} = f (s) = \int_{0^-}^{\infty} f (t)e^{-st} dt]
这里，(s) 是复值拉普拉斯变量。拉普拉斯变换可以看作是一种单边广义傅里叶变换，适用于当 (t \to \infty) 时不收敛到零的函数。它的重要性在于将微分方程转化为代数方程，将时域中的卷积积分转化为频域中的简单乘积。

对控制系统进行拉普拉斯变换，以方程 (\dot{x} = Ax + Bu) 和 (y = Cx + Du) 为例，可得：
[sx(s) = Ax(s) + Bu(s)]
[y(s) = Cx(s) + Du(s)]
通过求解上述方程，可以得到从输入 (u) 到输出 (y) 的映射，即传递函数：
[G(s) = \frac{y(s)}{u(s)} = C(sI - A)^{-1}B + D]

对于线性系统，存在三种等价的表示方式：
1. 时域 ：以脉冲响应表示，(y(t) = \int_{0}