29、线性控制理论：可控性、可观测性与最优控制

线性控制理论：可控性、可观测性与最优控制

1. 倒立摆系统线性化分析

倒立摆系统是控制理论中的经典模型。在摆杆向上（$x_1 = \pi, x_2 = 0$）和摆杆向下（$x_1 = 0, x_2 = 0$）的平衡点进行线性化，可得到不同的状态方程。
- 摆杆向上时：
$\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
g/L & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \
1
\end{bmatrix}
u$
其特征值为$\lambda = \pm\sqrt{g/L}$，这表明摆杆向上的位置是一个不稳定的鞍点。
- 摆杆向下时：
$\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
- g/L & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \
1