6、线性代数与解析几何：从仿射空间到内积空间

线性代数与解析几何：从仿射空间到内积空间

1 仿射空间与仿射映射

1.1 仿射子空间

仿射子空间是从原点偏移的空间，不再是向量子空间。设 $V$ 是向量空间，$x_0 \in V$，$U \subseteq V$ 是子空间，则子集 $L = x_0 + U := {x_0 + u : u \in U}$ 称为 $V$ 的仿射子空间或线性流形。$U$ 称为方向或方向空间，$x_0$ 称为支撑点。

若 $x_0 \notin U$，仿射子空间的定义排除了 $0$，因此它不是 $V$ 的（线性）子空间。例如，$\mathbb{R}^3$ 中的点、线和面（不一定过原点）都是仿射子空间。

考虑两个仿射子空间 $L = x_0 + U$ 和 $\tilde{L} = \tilde{x}_0 + \tilde{U}$，$L \subseteq \tilde{L}$ 当且仅当 $U \subseteq \tilde{U}$ 且 $x_0 - \tilde{x}_0 \in \tilde{U}$。

仿射子空间通常用参数描述。对于 $k$ 维仿射空间 $L = x_0 + U$，若 $(b_1, \ldots, b_k)$ 是 $U$ 的有序基，则 $L$ 中的每个元素 $x$ 可唯一表示为 $x = x_0 + \lambda_1b_1 + \ldots + \lambda_kb_k$，这称为 $L$ 的参数方程，其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}$。

不同维度的仿射子空间有不同的名称和表示：
- 一维仿射子空间（线） ：可写为