first week of machine learning on Coursera

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@(Coursera)
惯例是，先在Matlab/octava上实现算法原型，确定可用再迁移到其他编译环境。因为Matlab/octava集成了很多机器学习算法和常用的计算，对于算法实现速度很快，而且代码比较简单。

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平方误差函数是解决回归问题最常用的代价函数(cost function)。
我们的目的是使我们作出的假设函数hypothesis function最接近于实际的训练集样本点集$(x,y)$,假设函数用$h(\theta)=\theta_1 x+\theta_0$表示衡量假设函数拟合训练样本的情况是通过代价函数来衡量的，代价函数用$J(\theta)$来表示，$J(\theta)$是$\theta_1$和$\theta_0$的函数。
所以我们的目的就是找到一组$\theta_1$和$\theta_0$，使得$J(\theta)$的值最小。
我们使用梯度下降法来寻找$\theta_1$和$\theta_0$的值。
梯度下降法的直观描述就是，当人在山顶，每次迈出一步长$\alpha$，他可以选择任意方向来下山，但是需要以最短时间下山。那么肯定选择和自身位置等高线垂直的方向下山，此时正好是梯度下降的方向。

$$\theta_j=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_j}(for j=0 and j=1)$$
这里的$\alpha$代表学习速率，也就是下山时的步长。
temp0:$=\theta_0-\alpha\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_0}$
temp1:$=\theta_1-\alpha\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_1}$
$\theta_0:=temp0$
$\theta_1:=temp1$
通过梯度下降不断的更新$\theta_0和\theta_1$，知道$J(\theta)$收敛为止。如下图的$J(\theta)$是个凸函数（Convex function）它收敛时为全局最小值。
步长太大可能会导致无法收敛：

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线性模型时：
假设函数$h_\theta (x^i)=\theta_1 x+\theta_0$
成本函数cost function:$J(\theta_0,\theta_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta (x^i)-y^i)^2$
这里为什么乘以$\frac{1}{2m}$系数呢，乘以$\frac{1}{m}$是使用均方误差来衡量平方误差，这是数理统计中经常使用的方法；乘以$\frac{1}{2}$是因为后续对$J(\theta_0,\theta_1)$求导时会多出个2，用$\frac{1}{2}$来抵消，是式子看起来更简便。因为我们的目的就是求cost function最小化时的$\theta_0和\theta_1$，前面乘以个系数并不影响。
此时，

$$\theta_0:\theta_0-\alpha \frac{d}{d\theta_0}J(\theta_0) =\theta_0-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^i)-y^i)$$
$$\theta_1:\theta_1-\alpha \frac{d}{d\theta_1}J(\theta_1)=\theta_1-\alpha \frac{1}{m}(h_\theta (x^i)-y^i) x^i$$
Batch:表示步长，也称为学习速率，就是上式中的$\alpha$.

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Vector:an N*1 matrix
矩阵计算：
单位矩阵(Identity matrix):对角线元素为1，其余元素为0的方阵。

$$I= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$
矩阵乘法：$A\times B \neq B \times A$
除非：$A\times I=I\times A$
矩阵的逆，当矩阵是个方阵时，$m\times m$,并且矩阵$A$存在逆矩阵，则满足 $$A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I$$