LeetCode 70. Climbing Stairs

最新推荐文章于 2024-11-13 21:22:24 发布

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#爬楼梯 #斐波纳切数列 #动态规划 #迭代 #数学公式

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本文探讨了经典的爬楼梯问题，给出了三种不同的解决方案：递归、迭代（动态规划）及利用斐波那契数列的数学公式。通过对比不同方法的时间和空间复杂度，帮助读者理解算法设计的基本思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

分析

设 f (n) 表示爬 n 阶楼梯的不同方法数，为了爬到第 n 阶楼梯，有两个选择:
• 从第n−1阶前进1步;
• 从第n−1阶前进2步;
这是一个斐波那契数列。
方法 1：递归，太慢;
方法 2：迭代，也可以看作动态规划。
方法3：数学公式。斐波那契数列的通项公式为

a n = 1 5 ‾ ‾ \sqrt ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ (1 + 5 ‾ ‾ \sqrt 2) n - (1 - 5 ‾ ‾ \sqrt 2) n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^{n} - \left (\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right )^{n} \right ]$

代码

// 迭代，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int prev = 0;
        int cur = 1;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int tmp = cur;
            cur += prev;
            prev = tmp;
        }

        return cur;
    }
};

// 数学公式，时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        const double s = sqrt(5);
        return floor((pow((1+s)/2, n+1) - pow((1-s)/2, n+1)) / s );
    }
};