百年未解！AI联手数学家证伪Carathéodory猜想，顺带击碎Loewner指数猜想

【导语：近日，Anthropic/哈佛数学家Levent Alpöge联合Claude，直接证伪了困扰数学界超100年的Carathéodory猜想，顺带击碎Loewner指数猜想，这一成果震动数学界，也展现了人机协作的新范式。】

百年猜想：微分几何的两座大山

1924年，德国数学家Hans Ludwig Hamburger在微分几何中提出Carathéodory猜想，并以其博士生导师Constantin Carathéodory命名。该猜想指出，三维欧几里得空间中任何凸的、闭合的且足够光滑的曲面必定至少存在两个脐点。脐点通俗理解就是曲面上「各方向弯曲程度完全一样」的点，球面上每个点都是脐点。

与此平行的Loewner猜想指出，孤立脐点的指数不超过1。这两个猜想互为支撑，百年来像一对铁锁，锁住了微分几何一整片领地。无数数学家尝试构造只有一个脐点的光滑凸体，但都失败了。

反例出现：两个猜想同时倒塌

Alpöge和John - Paul Smith给出了一个极其具体的构造。他们定义了一族函数g_k，其中k = 2时的g₂作为球面支持函数，对应的凸体在原点处产生一个指数为2的脐点。指数2直接违反了Loewner猜想的上限1。

更关键的是，由于指数衰减项的存在，g₂在数学上保证了C∞光滑，即这个凸体满足Carathéodory猜想要求的一切光滑性条件，但它只有1个脐点，从而证伪了Carathéodory猜想。一个显式的、可验证的反例，干掉了两个存活超过百年的猜想。

人机协作：数学界的新常态

这已经不是Alpöge第一次和Claude联手搞事。今年世界杯期间，他就用Claude提出了3维雅可比猜想的反例。回看过去几个月，Claude在黎曼猜想上创造新纪录，OpenAI集中发布10项数学和理论计算机科学进展，新晋菲尔兹奖得主宣布加入OpenAI。

新的趋势正在浮现，AI不再只是数学家的计算器，而是变成了数学家的「直觉补充器」，在人类直觉失灵的地方，用穷举和构造能力打开新路径。百年猜想被全新的人机协作范式击碎，这种范式有望继续击碎更多猜想。

编辑观点：此次人机联手证伪百年猜想意义重大，展现了AI与数学深度融合的潜力，为数学研究开辟新方向，未来人机协作或成攻克更多数学难题的利器。