19、神经生理学与细胞生物化学知识解析

神经生理学与细胞生物化学知识解析

1. 霍奇金 - 赫胥黎方程与动作电位传播速度

在神经生理学中，电流与电压梯度存在一定关系，其表达式为：
[i = -\pi a^2 \frac{\overline{R}}{dV/dx}]
这里的负号表示电流会顺着电压梯度移动。对该式关于 (x) 求导，并代入相关公式后，可得到：
[\frac{a^2 \overline{R}}{\partial^2 V / \partial x^2} - (i_{Na} + i_{K} + i_{\ell}) = C_m \frac{dV}{dt}]
此方程与膜离子电流对应的 (n)、(m) 和 (h) 的方程共同构成了霍奇金 - 赫胥黎传播方程。霍奇金和赫胥黎通过这些方程数值计算得出动作电位的传播速度 (c) 为 18.8 米/秒，而实际值约为 21 米/秒，二者吻合度较高。

若动作电位沿轴突传播时形状不变，其关于 (x)（固定 (t)）的形状等同于关于 (t)（固定 (x)）的形状，这可由波动方程表示：
[\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}]
将上式中关于 (x) 的二阶导数代入前面的方程，可得：
[\frac{a^2 \overline{R} c^2}{d^2 V / dt^2} - (i_{Na} + i_{K} + i_{\ell}) = C_m \frac{dV}{dt}]
在这个方程中，只有第一项与轴突半径 (a) 有关。由于其他项与 (a) 无关，所以第一项也必须与 (a) 无关，即系数关于 (a) 为常数：