20、神经网络建模与矩阵方法解析

神经网络建模与矩阵方法解析

1. 配分函数

在一个具有一组 v 个状态的物理系统中，每个状态都有一个能量水平 $\phi_v$。在有限温度（$T > 0$）下，状态的波动会在一个恒定值附近达到热平衡。在这种条件下，每个可能的状态 v 出现的概率为 $P_v = (1/Z)exp(-\phi_v/k_B T)$，其中 Z 是一个归一化因子，等于 $\sum exp(-\phi_v/k_B T)$。与离散状态 $\phi_v$（$V = 1,2, …$）相关联，一个决定平均能量的控制函数，即状态和或配分函数，定义如下：
$Z = \sum_{v} exp(-\beta\phi_v)$ (A.11)

在存在外加磁场（$m_Mh_M$）的情况下，通过方程 (A.9) 和 (A.11) 可以确定与 Ising 模型对应的配分函数：
（此处原文未给出具体方程 (A.12) 的完整形式）

其中 $\sum_{i}$ 是对所有自旋求和，$\sum_{ }$ 是对所有直接相邻对求和。此外，$\sum_{s_i=\pm1}$ 是对 M 个自旋的 $2^M$ 种组合求和。相关的能量 E 和磁矩 $m_M$ 可以用 $Z^ $ 表示为：
$E = -[\frac{\partial \ln Z^ }{\partial \beta}] {h_M}$ (A.13)
$m_M = (\frac{1}{\beta})[\frac{\partial \ln(Z^*)}{\partial h_M}] {\beta}$ (A.14)

方程 (A.12)、(A.13) 和 (A.14) 所规定的关系，在热力学观点