49、自动机与图论问题的深入剖析

自动机与图论问题的深入剖析

1. 同余类的正则性与增长率

首先探讨同余类的正则性证明。通过归纳法来证明对于每个 (k = \ell(V), \ldots, 1)，同余类 ([V_k]) 是正则的。当 (k = \ell(V)) 时，依据引理 4 (1) 和命题 6 可知该结论成立。假设对于某个 (k > 1)，同余类 ([V_{k + 1}]) 是正则语言，下面证明 ([V_k]) 的正则性。
- 由于正则语言类在并运算下封闭，根据引理 4 (2, 3) 可得 ([r_T(V_k)]^r) 是正则语言。
- 由引理 5 可知，语言 ([r_T(V_k)]^{r_1}) 是正则的。进而 (L[k][r_T(V_k)]^{r_1}R[k]) 也是正则语言。
- 利用公式 (r_T^{-1}(L[k][r_T(V_k)]^{r_1}R[k]) = (L[k]L[k]L[k])^∗L[k][r_T(V_k)]^{r_1}R k ^∗)，结合引理 4 (8)，可知语言 ([V_k]^{r_1}) 是正则的。再根据引理 6，([V_k]) 是正则语言。通过归纳，可得出同余类 ([V_1]) 是正则语言，又因为 ([V_1] = [V]^{r_1})，再次引用引理 6 完成证明。

接着看同余类的增长率。若 (V) 是一个长的几乎无重叠字，那么同余类 ([V]) 足够大。定理表明，设 (V) 是一个几乎无重叠字且 (|V| > 50)，则 (\alpha([V]) \geq \phi)，其中 (\phi = (1 + \sqrt{5})/2) 是黄金分割比。
- 首先考虑语言