35、斩运算与表达式的描述复杂度考量

斩运算与表达式的描述复杂度考量

在自动机理论和形式语言领域，斩运算（chop operations）及其相关表达式的复杂度分析是一个重要的研究方向。本文将深入探讨斩运算 ⊙、⊗ 和 ⊕ 的状态复杂度，以及斩表达式（CEs）与有限自动机、正则表达式（REs）之间的转换复杂度。

斩运算的状态复杂度

斩运算 ⊙、⊗ 和 ⊕ 的状态复杂度与连接运算及其迭代有相似之处，但也存在一些差异。对于非确定有限自动机（NFAs）和确定有限自动机（DFAs），这些运算的复杂度表现不同。

非确定状态复杂度

• 定理 1 ：设 A 是一个 m 状态的 NFA，B 是一个 n 状态的 NFA（m, n ≥ 1），则对于接受语言 L(A) ⊙ L(B) 的任何 NFA，在最坏情况下，m + n 个状态是足够且必要的。
• 定理 2 ：设 A 是一个 n 状态的 NFA（n ≥ 4），则对于接受语言 L(A)⊗ 的任何 NFA，在最坏情况下，n + 2 个状态是足够且必要的。
  • 构造过程 ：给定 NFA A = (Q, Σ, δ, q0, F)，|Q| = n，定义 A⊗ = (Q ∪ {s, f}, Σ, δ⊗, s, F ⊗)，其中 F ⊗ = F ∪ {f}，转移函数 δ⊗ 满足：对于所有状态 p, q ∈ Q 和 a ∈ Σ，有 δ(p, a) ⊆ δ⊗(p, a)，并且 (i) 若 q ∈ δ(q0, a)，则 q ∈ δ⊗(s, a)；(ii) 若 δ(q0, a) ∩ F = ∅，则 f ∈ δ⊗(s,