24、自动序列的枚举、可判定性质及相关序列特征

自动序列的枚举、可判定性质及相关序列特征

1. 自动序列的基本判定与枚举

自动序列在形式语言和组合数学领域有着重要地位。对于两个序列 (a) 和 (b)，当且仅当对于所有 (i \geq 0)，(n \geq 1)，存在 (j \geq 0) 使得对于所有 (0 \leq t < n) 都有 (a(i + t) = b(j + t)) 时，它们存在特定关系。并且，判断一个 (k) - 自动单词的因子集是否是另一个 (k) - 自动单词因子集的子集这一问题是可判定的。

在枚举方面，许多对 (k) - 自动序列某些方面进行计数的序列是 (k) - 正则的。若一个序列 ((a(n)) {n\geq0}) 满足由所有形如 ({(a(k^e n + c)) {n\geq0} : e \geq 0, 0 \leq c < k^e}) 的子序列构成的模是有限生成的，或者 (\sum_{n\geq0} a(n)(n)_k) 是非交换有理级数（其中 ((n)_k) 是 (n) 的规范 (k) 进制编码），则该序列是 (k) - 正则的。经典的 (k) - 正则序列例子包括系数非负的 (n) 的多项式以及 (n) 的 (k) 进制数位之和 (s_k(n))。

下面是一个关于 (k) - 正则序列判定的关键引理：
- 引理 1 ：设 (\Sigma) 是有限字母表，(B) 是不在 (\Sigma) 中的新符号，(\Delta) 是另一个有限字母表，定义 (\Sigma’ = (\Sigma \cup {B}) \times \Delta)。对于 (x = [a_1, b_1][a_2, b_2] \cdots [a_n,