数学基础知识（质数和约数C++）

一.判断质数

1.试除法求质数

(1)暴力做法O(n)

做法：从2~n遍历找约数，如果不存在约数则n为质数

(2)优化做法O(sqrt(n))

性质：如果i能整除n，那么n/i也能整除n，即约数是成对出现的。
因此我们只需要去找每一对质因子中较小的那个质因子即可，所以我们遍历的时候只需要从2枚举到n/i即可，这样时间复杂度可以降低到O(sqrt(n));

bool is_prime(int n){
	bool flag = true;
	for(int i = 2;i<=n/i;i++){
		if(n%i==0){
			flag = false;
			break;
		}
	}
	return flag;
}

二.求2~n中的所有质数

1.筛法求质数

(1)朴素筛法O(nlogn)

做法：从2~n枚举，对于每个i我们都把它的所有倍数都筛掉，这样剩下未被筛掉的数就是质数。（因为如果没有被筛掉说明在2到i中不存在其的约数，即为质数）

int primes[N];
bool st[N];
void get_prime(int n){
	int cnt = 0;
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
		for(int j = i+i;j<=n;j+=i){
			st[j] = true;
		}
	}
}

(2)埃氏筛法O(nloglogn)

通过观察我们可以发现，我们其实没有必要把每个数的倍数都筛一遍，只需要把所有质数的倍数筛掉即可，因为所有合数都是由质数组合成的（合数分解）

int primed[N];
bool st[N];
void get_prime(int n){
	int cnt = 0;
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			primes[cnt++] = i;
			for(int j = i+i;j<=n;j+=i){
				st[j] = true;
			}
		}
	}
}

(3)线性筛法O(n)

我们之前在判断质数的方法中提到过，质因子都是成对出现的，因此同样我们只需要枚举较小的那个质因子即可（即所有合数都只会被它的最小质因子筛掉）
所以我们需要对每一个i都从之前的质数中去找它的最小质因子，找到了就break掉。

int primes[N];
bool st[N];
void get_prime(int n){
	int cnt = 0;
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
		for(int j = 0;primes[j]<=n/i;j++){//i每次更新都要把2~i之间的数筛一遍，且我们只找较小的那个约数
			st[primes[j]*i] = true;//顺便筛掉质数的倍数
			if(i%primes[j]==0) break;//找到i的最小质因子，加上这个优化就会变为线性的
		}
	}
}

三.分解质因数

1.试除法分解质因数

对于每个合数n我们都可以将其分解成${\prod }_{i=1}^k{P}_i^{a_i}$的形式,其中P为n的质因子，这个过程我们成为分解质因数。

(1)暴力做法O(n)

做法：从2~n枚举所有数，如果n%i==0，再用while去求该质因子的幂次

(2)优化算法

性质：n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子。
因此我们枚举的时候只需要枚举2~n/i即可，最后如果n>1,则剩下的这个就是n中那个大与sqrt(n)的质因子。

void divide(int n){
	for(int i = 2;i<=n/i;i++){
		int s = 0;
		if(n%i==0){
			while(n%i==0) n/=i,s++;
			cout<<i<<' '<<s<<endl;
		}
		if(n>1) cout<<n<<' '<<1<<endl;
	}
}

四.约数

1.试除法求一个数的所有约数

做法：做法与判断质数的做法相似，只需要在1到n/i中去找较小的那个约数即可，较大的那个约数可以通过计算得到。

vecrot<int> get_divide(int n){
	vector<int> res;
	for(int i = 1;i<=n/i;i++){
		if(n%i==0){
			res.push_back(i);
			if(i!=n/i) res.push_back(n/i);//放入之前判断一下是否相同
		}
	}
}

2.约数个数

因为对于任意一个合数n我们都可以将其分解为${\prod }_{i=1}^k{P}_i^{a_i}$的形式，一个合数的约数个数应为${\prod }_{i=1}^k(a_i+1)$,因为每个质因数的次数都可以从0取到$a_i$，因此有这么多种组合。

3.约数之和

合数n的约数之和为${\prod }_{i=1}^k(P_i^0+P_i^1+...+P_i^k)$,该式展开后就是各个约数相加。

五.欧拉函数φ(n)

1.普通方法求欧拉函数

φ(n)用于快速求取1~n中与n互质的数的个数。

公式：如果合数n分解质因数之后的结果为${\prod }_{i=1}^k{P}_i^{a_i}$，则
φ(n) = n(1-$\frac{1}{P_1}$)(1-$\frac{1}{P_2}$)…(1-$\frac{1}{P_k}$)（记住即可，证明以后有时间再补）

int phi(int n){
    int res = n;
    for(int i = 2;i<=n/i;i++){
        if(n%i==0){
            res = res/i*(i-1);//为了防止出现res*(1-1/i)出现小数，因此先除i再乘上(i-1)
            while(n%i==0){
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1) res = res/n*(n-1);
    return res;
}

2.线性筛法求欧拉函数O(n)

该方法用于求1~n所有数的欧拉函数值

线性筛法求欧拉函数的思想与之前利用线性筛法求质数差不多，只不过这里我们需要分情况来讨论

(1)如果i为质数

那么φ(i) = i-1，因为1~i-1之间的数都与 i 互质。

(2)如果i不为质数，P = primes[j]*i，i%primes[j]==0时

某一个数的欧拉函数值跟其分解质因数后质因数的次数无关
因为primes[j]是i的一个质因子，因此在i的欧拉函数中已经出现了(1-$\frac{1}{primes[j]}$)这一项了，而i和P只相差primes[j]倍，所以它们分解质因数的结果只相差primes[j]的一次方，因此是它们的欧拉函数之间也只相差primes[j]倍，即
φ(i) = i*${\prod }_{i=1}^n{p}_i^{a_i}$
φ( P ) = primes[j] * i * ${\prod }_{i=1}^n{p}_i^{a_i}$ = primes[j]*φ(i)

(3)如果i不为质数，P = primes[j]*i，i%primes[j]!=0时

这时primes[j]不是i的一个质因子，i和P的欧拉函数就会相差primes[j]*(1-$\frac{1}{primes[j]}$)这么多倍

int primes[N],phi[N];
bool st[N];
void get_eulers(int n){
	phi[1] = 1;//特殊规定
	int cnt = 0;
	for(int i = 2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			primes[cnt++] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 0;primes[j]<=n/i;j++){
			st[primes[j]*i] = true;
			if(i%primes[j]==0){
				phi[primes[j]*i] = phi[i]+primes[j];//这个公式成立必须是primes[j]也是i的质因子才行
				break;
			}
			phi[primes[j]*i] = phi[i]*(primes[j]-1);
		}
	}
}