8、神经网络在组合优化问题中的应用

神经网络在组合优化问题中的应用

1. 优化问题概述

优化问题在技术和经济系统中广泛存在。将Hopfield联想记忆模型不仅视为执行识别或检索任务，还可看作是解决优化问题，即网络要找到使能量函数最小化的配置。在一般优化理论中，这类问题很常见，此时通常所说的“能量”被称为成本函数或目标函数。

优化问题可根据解决所需时间分类：
- P类问题 ：若存在一种算法，能在问题规模 $N$ 的多项式时间（或更慢）内解决问题，则该问题属于P类。
- NP类问题 ：P类是NP（非确定性多项式）类的子类。NP问题是指可以在多项式时间内验证任何“猜测”的解是否正确的问题。
- NP完全问题 ：NP类中的一个重要子类，是最难的NP问题。若能找到一个确定性算法，在多项式时间内解决一个NP完全问题，那么所有其他NP问题都可在多项式时间内解决。不过，很可能（虽未证明）$P \neq NP$。

组合优化问题是一种离散系统问题，对于规模为 $N$ 的问题，通常有大约 $e^N$ 或 $N!$ 种可能的解，我们要找到使成本函数最小的解。

2. 加权匹配问题

加权匹配问题是一个有 $N$ 个点的问题，每对 $i$、$j$ 点之间有已知的“距离” $d_{ij}$。问题是将这些点两两配对，使所有链接的总长度最小，每个点只能与另一个点相连。实际应用包括电子组件匹配、工作调度和学生与学校匹配等。

2.1 问题建模

使用随机McCulloch - Pitts网络来解决该问题，采用 $0/1$ 单元而