4、磁系统统计力学与随机神经网络

磁系统统计力学与随机神经网络

1 磁系统统计力学基础

1.1 磁材料的 Ising 模型描述

磁材料可以用 Ising 模型进行简化描述。在这个模型中，磁材料由一组排列在规则晶格上的原子磁体（自旋）构成，该晶格代表材料的晶体结构。对于“自旋 1/2”的原子，自旋只有两种可能的方向，分别用变量 (S_i = \pm1) 表示，(S_i = +1) 表示自旋“向上”，(S_i = -1) 表示自旋“向下”。

Ising 模型中的自旋与神经网络中单元的激活状态存在明显的类比关系。神经网络中的激活单元对应磁体中的“自旋向上”，非激活单元对应“自旋向下”。并且，Ising 模型不仅适用于自旋 1/2 的磁材料，还广泛应用于许多可以用二进制变量描述的物理系统。

1.2 自旋的相互作用与动力学

在磁材料中，每个自旋都受到其所在位置的磁场 (h_i) 的影响。这个磁场由实验者施加的外部场 (h_{ext}) 和其他自旋产生的内部场组成。内部场中每个原子的贡献与其自身自旋成正比，因此，自旋 (S_i) 受到的磁场为：
[h_i = \sum_{j} w_{ij}S_j + h_{ext}]
其中，(w_{ij}) 是交换相互作用强度，衡量自旋 (S_j) 对 (S_i) 处磁场的影响强度，且 (w_{ij} = w_{ji})。根据微观细节和位置 (i) 与 (j) 的相对位置，(w_{ij}) 可以为正或负，强度也会有很大变化。

在低温下，自旋倾向于与作用在它上面的局部场 (h_i) 平行排列，即 (S_i = \text{sgn}(h_i))，这种排列可以异步随机发生。

1.3 相互作