6、元启发式、机器学习与深度学习方法解析

元启发式、机器学习与深度学习方法解析

1. 西姆森定理的代数证明

首先，我们来看西姆森定理相关内容。假设 D 是 △ABC 外接圆上的一点，E、F、G 分别是从 D 点向（延长）边 BC、CA、AB 所作垂线的垂足，那么 E、F、G 三点共线，这条线被称为西姆森线。

为了证明这个定理，我们建立了如下坐标系：
- (A = (0, 0))
- (B = (u_1, 0))
- (C = (u_2, u_3))
- (O = (x_1, x_2))
- (D = (u_4, x_3))
- (E = (x_4, x_5))
- (F = (x_6, x_7))
- (G = (u_4, 0))

基于此坐标系，我们可以得到假设条件的表达式 (h_1, \cdots, h_7) 和结论的表达式 (g)，具体如下表所示：
| 表达式 | 条件说明 |
| — | — |
| (h_1 = 2u_1x_1 - u_1^2 = 0) | (OA = OB) |
| (h_2 = 2u_3x_2 + 2u_2x_1 - u_3^2 - u_2^2 = 0) | (OA = OC) |
| (h_3 = -x_3^2 + 2x_2x_3 + 2u_4x_1 - u_4^2 = 0) | D 在圆 O 上 |
| (h_4 = u_3x_5 + (u_2 - u_1)x_4 - u_3x_3 + (-u_2 + u_1)u_4 = 0) | (DE \perp BC) |
| (h_5 = (-u_2 + u_1)x_5 + u_3x_4 - u_1u