35、数学与工程基础知识概述

数学与工程基础知识概述

1. 数学基础相关概念

在数学领域，有一些基础概念对于理解更复杂的理论至关重要。

1.1 同余与质数

• 同余 ：当且仅当 $(a - b) \bmod m = 0$ 时，$a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余。
• 质数 ：一个大于 1 的整数 $p$ 是质数，当且仅当它不能表示为两个大于 1 的整数的乘积。例如，2、13、29、61 等都是质数。大于 1 的非质数整数被称为合数，合数可以由两个大于 1 的整数相乘得到。质数在公钥密码学方案中有重要应用，该方案涉及交换包含两个随机大质数 $p$ 和 $q$ 的乘积 $p * q$ 的公钥，而私钥必须由特定方保密。

1.2 最大公约数（GCD）

整数 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $\gcd(a, b)$ 是同时能整除 $a$ 和 $b$ 的最大整数 $d$，即 $d = \gcd(a, b)$ 满足 $\max(d: d|a \land d|b)$。例如，$\gcd(24, 36) = 12$。如果两个整数的最大公约数为 1，则称它们互质。例如，35 和 6 都不是质数，但它们互质，因为它们没有大于 1 的公因数。

1.3 代数结构

代数结构由一个或两个在某些运算下封闭并满足一定公理（包括无公理情况）的集合组成。常见的代数结构包括群、幺半群、环和格。

• 群 ：一个在二元运算 $\cdot$ 下封闭的集合 $S$ 构成群，需满