33、数学基础：归纳证明、计数原理、图与树的知识详解

数学基础：归纳证明、计数原理、图与树的知识详解

1. 数学归纳法证明

数学归纳法是一种用于证明与正整数相关命题的有效方法。它主要包含两个关键步骤：
- 基础步骤 ：证明命题对于最小的正整数（通常是 1）成立。
- 归纳步骤 ：假设命题对于某个任意正整数 k 成立，然后证明它对于 k + 1 也成立。

下面我们通过一个具体的命题来详细说明数学归纳法的应用。

命题 ：前 n 个正奇数的和 P(n)等于 n²。

• 基础步骤 ：当 n = 1 时，P(1) = 1² = 1，命题成立，基础步骤完成。
• 归纳步骤 ：
  • 归纳假设（IH）：假设命题对于 n = k（k 为任意正整数）成立，即 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k²。
  • 现在要证明 P(k) → P(k + 1)：
    • P(k + 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2k + 1)
    • = P(k) + (2k + 1)
    • = k² + (2k + 1) [根据归纳假设]
    • = k² + 2k + 1
    • = (k + 1)²
  • 这表明如果命题对于 n =