30、Petunin椭圆及其统计特性解析

Petunin椭圆及其统计特性解析

1. 背景与问题提出

在处理随机点云数据时，一些方法虽展现出有效性，但存在一个重大缺陷，即它们侧重于几何特性，而未考虑参数的统计性质。Petunin椭球的出现为解决这一问题提供了优雅的方案。同时，预测集的构建也是一个重要话题，它与统计深度、多元排序和五分位数轮廓构建等概念密切相关。

2. Petunin椭圆和椭球的构建

• 问题定义 ：设(X = x_1, …, x_n)为一组随机点，其中(x_i \in R^d)，(Ax \leq b)是一个线性不等式系统，问题是找到一个最优椭球，它至少包含给定数量的点，在相似椭球中体积最小，并且位于由线性约束(Ax \leq b)对应的多边形内。
• 构建算法（分情况讨论）
  • (d = 2)的情况 ：
    1. 构建(X = {(x_1, y_1), …, (x_n, y_n)})的凸包。
    2. 找到凸包的直径及其端点((x_k, y_k))和((x_l, y_l))，构建连接这些端点的线段(L)。
    3. 找到距离(L)最远的点((x_r, y_r))和((x_q, y_q))。
    4. 构建与(L)平行且通过((x_r, y_r))和((x_q, y_q))的线段(L_1)和(L_2)，其长度等于(L)的长度；构建与(L)垂直且通过((x_k, y_k))和((x_l, y_l))的线段(L_3)和(L_4)，这些线段形成矩形