12、动态博弈问题中的时间膨胀原理与求解方法

动态博弈问题中的时间膨胀原理与求解方法

在动态博弈问题中，当经典的庞特里亚金条件不满足时，如何将轨迹引导至终端集是一个具有挑战性的问题。本文将介绍一种通过引入时间膨胀函数和基于此的较弱修正条件来解决该问题的方法，并结合具体示例进行说明。

时间膨胀原理基础

在某些情况下，对于满足特定条件的控制选择，可得到如下关系：
当 (N(T^ , u_0(\cdot))\notin M) 时，
(\pi_z(I(T^ )) \in N(T^ , u_0(\cdot)) + \int_0^{T^ } \overline{\alpha}_{I(T^ , s, v(I(T^ ) - I(T^ -s)), u_0(\cdot))}[M - N(T^ , u_0(\cdot))]ds = M)
这里考虑了终端集实体部分的凸性。若 (N(T^ , u_0(\cdot)) \in M)，结合特定的控制选择，也能得出 (\pi_z(I(T^ )) \in M)。

需要注意的是，该方法的方案和主要论断适用于比特定描述更广泛的冲突控制过程类，例如广义泛函微分系统，包括分数阶、脉冲和时滞系统。时间膨胀函数可以是不连续的，但在其连续区间上绝对连续。

示例分析：二阶振荡系统博弈

为了说明上述方法，我们以两个描述数学摆动力学的二阶受控系统在几何坐标下的收敛博弈问题为例。

系统动力学方程

系统的动力学由以下方程描述：
(\ddot{x} + a^2x = \rho u)，(x \in R^