10、非线性积分不等式与避免相遇的微分博弈

非线性积分不等式与避免相遇的微分博弈

1 引言

1.1 早期积分不等式

积分不等式在微分方程、非线性振荡、稳定性理论、力学以及平均问题等领域有着广泛应用。它们可用于证明微分方程解的唯一性定理，还能为无法解析求解的微分方程提供各种近似估计。

格朗沃尔 - 贝尔曼（Grönwall–Bellman）型不等式是许多积分不等式研究的起点。设 (u(t)) 和 (v(t)) 是区间 ([a, b]) 上的非负连续函数，且满足 (v(t) \leq C + \int_{a}^{b} v(s) u(s) ds)（(a \leq t \leq b)，(C \geq 0)），则有 (v(t) \leq C\exp(\int_{a}^{b} u(s) ds))。该不等式由 T.H. Grönwall 在 1919 年证明，后由 R. Bellman 在 1943 年进行了扩展。

非线性格朗沃尔 - 贝尔曼型不等式的早期研究由 Bihari（1956 年）和 A. Perov（1957 年）开展。此后，众多学者如 R.P. Agarval、S.A. Chaplygin 等也对积分不等式理论的发展做出了贡献。相关研究成果可见于 E.F. Beckenbach 和 R. Bellman（1965 年）、V. Lakshmikantham 和 S. Leela（1969 年）等人的专著中。

1.2 积分不等式理论的发展

积分不等式理论的发展可大致分为三个阶段：
1. 第一阶段 ：线性积分不等式得到发展，并广泛应用于微分方程研究。这一时期，积分不等式是证明非线性微分方程解的存在性和唯一性定理的核