7、变分分析在受控扫掠过程中的应用及非可逆无记忆系统的控制策略

变分分析在受控扫掠过程中的应用及非可逆无记忆系统的控制策略

在实际的工程和科学领域中，许多问题可以通过扫掠过程来描述和解决。同时，对于一些非可逆无记忆系统的控制也是研究的热点。下面将详细介绍扫掠过程在不同领域的应用以及非可逆无记忆系统的控制策略。

扫掠过程的应用

扫掠过程在多个领域有着重要的应用，下面将分别介绍其在弹塑性与滞回系统、机器人模型以及交通均衡与人群运动模型中的应用。

弹塑性与滞回系统

考虑一类无控制作用的模型，设 $Q$ 是对称 $n×n$ 张量的 $\frac{1}{2}n(n + 1)$ 维空间的一个闭凸子集，且内部非空。定义应变张量 $\epsilon = {\epsilon_{ij}}$ 为 $\epsilon = e + p$，其中 $e$ 是弹性应变，$p$ 是塑性应变。弹性应变 $e$ 与应力张量 $\sigma = {\sigma_{ij}}$ 线性相关，即 $e = A^2\sigma$，这里 $A$ 是一个常数对称正定矩阵。最大耗散原理表明：
$\langle\dot{p}(t), z\rangle\leq\langle\dot{p}(t), \sigma(t)\rangle$ 对于所有 $z \in Q$ 成立。
这个变分不等式等价于扫掠过程：
$\dot{\zeta}(t) \in -N(\zeta(t); C(t))$，$\zeta(0) = A\sigma(0) - A^{-1}\epsilon(0) \in C(0)$
其中 $\zeta(t) := A\sigma(t) - A^{-1}\epsilon(t)$，$C(t) := -A^{-1}\epsilon(t) + A