6、动态优化中的受控移动集与受控动力学问题

动态优化中的受控移动集与受控动力学问题

1. 受控移动集的动态优化问题

1.1 问题描述

考虑如下的优化问题：
[
\begin{align }
\min_{u(\cdot),x(\cdot)} J[x, u] &= \phi(x(T)) + \int_{0}^{T} \ell(t, x(t), u(t), \dot{x}(t), \dot{u}(t)) dt \
\text{s.t. } \dot{x}(t) &\in f(t, x(t)) - N(g(x(t)); C(t, u(t))) \text{ a.e. } t \in [0, T] \
x(0) &= x_0 \in C(0, u(0))
\end{align }
]
其中，受控移动集 (C(t, u) = {x \in \mathbb{R}^n | \psi(t, x, u) \in \Theta})，(f : [0, T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n)，(g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n)，(\psi : [0, T] \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^s)，(\Theta \subset \mathbb{R}^s)。该问题包含了状态和控制函数的逐点约束 (\psi(t, g(x(t)), u(t)) \in \Theta)，这在标准最优控制理论中是极具挑战性的。

1.2 假设条件

为了研究该问题，需要满足以