71、博弈论相关问题探讨

博弈论相关问题探讨

1. 圆盘移除博弈

1.1 游戏规则

在这个博弈中，玩家需要决定从轴上移除一个或两个圆盘。移除最后一个圆盘的玩家将从另一个玩家那里赢得 1 个单位的金钱。假设玩家 1 先行动。

1.2 特定情况分析

1.2.1 (n = 3) 的情况

• 我们可以通过绘制扩展形式的博弈树来分析。玩家 1 有两种选择：移除 1 个圆盘或移除 2 个圆盘。
  • 如果玩家 1 移除 1 个圆盘，剩下 2 个圆盘，此时玩家 2 移除 2 个圆盘，玩家 2 获胜。
  • 如果玩家 1 移除 2 个圆盘，剩下 1 个圆盘，玩家 2 移除 1 个圆盘，玩家 2 获胜。
  • 通过逆向归纳法，我们可以找到子博弈完美均衡。在这个例子中，玩家 2 有获胜策略。

1.2.2 (n = 4) 的情况

• 玩家 1 同样有两种选择。
  • 如果玩家 1 移除 1 个圆盘，剩下 3 个圆盘，根据前面 (n = 3) 的分析，玩家 2 有获胜策略。
  • 如果玩家 1 移除 2 个圆盘，剩下 2 个圆盘，玩家 2 移除 2 个圆盘，玩家 2 获胜。
  • 这里玩家 2 依然有获胜策略。

1.3 一般情况分析

对于任意的 (n)，我们可以总结出规律：
- 当 (n) 是 3 的倍数时，后行动的玩家（玩家 2）有获胜策略