5、SWAY在排列决策空间中的初步评估

SWAY在排列决策空间中的初步评估

1. 排列嵌入的初步探索

在排列决策空间的研究中，我们首先关注到一些重要的命题。命题3指出，$\Pi_{n - 1}$ 是一个简单的 $(n - 1)$ 维多面体，其顶点集为 $V_n$。命题4表明，当把 $\Pi_{n - 1}$ 的顶点看作排列时，两个顶点相邻当且仅当它们相差一次交换。

我们通过散点图研究了交换距离与不同嵌入距离之间的相关性。在图1a中，x轴是两个随机排列 $\pi, \pi’ \in S_n$ 使用排列多面体进行朴素嵌入后的欧几里得距离（即 $|\pi - \pi’|_2$），y轴是交换距离（即 $d_K(\pi, \pi’)$）。从图中可以看出，$\ell_2$ 距离和交换距离 $d_K$ 之间要么不存在正相关性，要么相关性非常弱，这使得朴素嵌入方法不适用。

为了解决这个问题，我们基于排列与线性序之间的双射关系，提出了基于排名的嵌入方法。具体定义如下：
- 定义6 ：设 $L \in L_n$。
- $L$ 的排名函数 $r_L : [n] \to [n]$ 定义为 $r_L(x) = 1 + |{y \in [n] : y L x}|$。
- 与 $L$ 关联的位置排列 $\pi = (\pi_1 \pi_2 \cdots \pi_n) \in S_n$ 满足 $r_L(\pi_i) = i$，其中 $i \in [n]$。
- 与 $L$ 关联的排名排列 $\pi = (\pi_1 \pi_2 \cdots \pi_n) \in S_n$ 满足 $\pi_i = r_L(i)$，其中 $i \in [n]$。
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