CF 300C - Beautiful Numbers [组合数求模]

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组合数学

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本文介绍了两种解决特定组合数求和问题的方法：一种是通过预处理阶乘并使用逆元来计算；另一种则是利用递推公式进行计算。两种方法都需要处理大范围的输入，并在模意义下计算组合数。

数学是硬伤。

分析题目后知道就是求sigma(C[i,n]%mod)

1 ≤ n ≤ 10⁶

下面有两种方法，

一、预处理出阶乘，直接根据组合数公式 C[i,n] = n!/( i!*(n-i)! )，由于涉及到除法取模，所以要求下逆元。

62ms.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int Rint() { int x; scanf("%d", &x); return x; }
inline int max(int x, int y) { return (x>y)? x: y; }
inline int min(int x, int y) { return (x<y)? x: y; }
#define FOR(i, a, b) for(int i=(a); i<=(b); i++)
#define FORD(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define REP(x) for(int i=0; i<(x); i++)
typedef long long int64;
#define INF (1<<30)
const double eps = 1e-8;
#define bug(s) cout<<#s<<"="<<s<<" "

// a,b,n
// 1 ≤ a < b ≤ 9, 1 ≤ n ≤ 10^6
#define MAXN 1000000
#define MOD 1000000007

int a, b;
int64 fact[MAXN+2];

int isgood(int x) {
	for(; x; x/=10) {
		if(x%10 != a && x%10 != b) {
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}
void calc_fact() {
	fact[0] = 1;
	FOR(i, 1, MAXN) {
		fact[i] = fact[i-1]*i%MOD;
	}
}

void ext_gcd(int64 a, int64 b, int64& d, int64& x, int64& y)
{
	if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
	else { ext_gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); }
}

int64 inv_mod(int64 a)	// ix=1(mod n)
{
	int64 x, y, d;
	ext_gcd(a, MOD, d, x, y);
	while(x<0) { x+=MOD; }
	return x;
}

int64 C(int k, int n) {
	return fact[n]*inv_mod(fact[k]*fact[n-k])%MOD;
}

int main() {
	a = Rint();
	b = Rint();
	int n = Rint();

	calc_fact();

	int64 ans = 0;
	FOR(i, 0, n) {
		if(isgood(a*i+b*(n-i))) {
			ans = (ans + C(i,n))%MOD;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

二、根据递推公式 c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i ，先递推出所有C[n, i]，因为这题n不会变，所以可以这样。同样要为 i 求逆元。

531ms

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int Rint() { int x; scanf("%d", &x); return x; }
inline int max(int x, int y) { return (x>y)? x: y; }
inline int min(int x, int y) { return (x<y)? x: y; }
#define FOR(i, a, b) for(int i=(a); i<=(b); i++)
#define FORD(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define REP(x) for(int i=0; i<(x); i++)
typedef long long int64;
#define INF (1<<30)
const double eps = 1e-8;
#define bug(s) cout<<#s<<"="<<s<<" "

// a,b,n
// 1 ≤ a < b ≤ 9, 1 ≤ n ≤ 10^6
#define MAXN 1000000
#define MOD 1000000007

int a, b;

int isgood(int x) {
	for(; x; x/=10) {
		if(x%10 != a && x%10 != b) {
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

void ext_gcd(int64 a, int64 b, int64& d, int64& x, int64& y)
{
	if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
	else { ext_gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); }
}

int64 inv_mod(int64 a)	// ix=1(mod n)
{
	int64 x, y, d;
	ext_gcd(a, MOD, d, x, y);
	while(x<0) { x+=MOD; }
	return x;
}

// int64 C(int k, int n) {
// 	return fact[n]*inv_mod(fact[k]*fact[n-k])%MOD;
// }

// #define MAXN 10000002
int64 c[MAXN+2];

int64 C(int64 n, int64 k)		//C n k			
{
	c[0] = 1;
	for(int64 i=1; i<=k; i++)
	{
		c[i] = c[i-1]*(n-i+1)%MOD*inv_mod(i) % MOD;
	}
	return c[k];
}

int main() {
	a = Rint();
	b = Rint();
	int n = Rint();

	// calc_fact();

	C(n, n);

	int64 ans = 0;
	FOR(i, 0, n) {
		if(isgood(a*i+b*(n-i))) {
			ans = (ans + c[i])%MOD;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

另，感觉我的求逆元的代码是不是挫了点，好像以前写组合数学的题跑的时间都比别人久。。

数学推理现在完全记不起来了。。还有什么Lucas也不会。。T-T