数字和与倍数 UVA 11361

最新推荐文章于 2021-09-11 22:01:28 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-11 22:01:28 发布 · 271 阅读

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本文深入解析了一道关于数位DP的复杂题目，介绍了如何通过递归算法和记忆化搜索来解决大范围内的数字筛选问题。文章详细阐述了递推公式的建立及其实现过程，并附带完整的代码示例。

这一道题目弄了两天，终于对数位dp有了新的理解.

参考了一个大佬的代码大佬的博客
题目大意:
给定，,a,b,k.找出所有满足在a<=x<=b条件的整数，要求能被k整除,数位之和也能被k整除。
分析
递推题目的第一步大致相同，设f(x)表示不超过x的非负整数中满足条件的个数。那么我们所求答案便是f(b)-f(a-1);问题的关键就在于如何计算f函数.假设我们需要计算f(12345)就是要数一数在0~12345范围内有多少满足要求的数，由于题目中给的范围很大，一一枚举是不可能的，我们得想办法"取巧"，白书上介绍的方法是使用加法原理，分段求和。

每一段都可以使用一个包含若干固定前缀和用星号表示的"后缀"的模板。其中星号表示可以人选用一个数字。
设f(d,m₁,m₂)表示共d个数字，其中各个数字之和除以k的余数为m₁,这些数字组成的整数除以k的余数为m₂;

递推公式
f(d,m₁,m₂)={sum(f(d-1,(m₁-x)mod k,(m₂-10^d-1)mod k|x=0,1,2,……9};

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#define maxn 105
using namespace std;

typedef long long ll;
ll  num[20];
int di[15], a, b, k, n;
int d[15][maxn][maxn], vis[15][maxn][maxn];


void pow_10() {
	num[0]=1;
	for (int i = 1; i <= 15; i++)
		num[i]=num[i-1]*10;
}
int dp(int cur, int m1, int m2, bool judge) {
	int &ans = d[cur][m1][m2];
	if (vis[cur][m1][m2]&&!judge)  return ans;    //记忆搜索如果是上届不可以按照平常方式一样返回    
	int ans0=0;                                    //备用
	vis[cur][m1][m2] = 1;
	if (cur == 0) {                   //出口
		if (m1 == 0 && m2 == 0)   
			return ans=1;
		return ans=0;
	}
	for (int i = 0; i < (judge ? di[cur] : 10); i++) {     //当上一位触及到上界时，该位置也必须进行约束
	 ans0+= dp(cur - 1, (m1 + i) % k, (m2 + i * num[cur - 1]) % k, false);
	}
	if (judge)    //触及上界，单独处理
		ans0+= dp(cur - 1, (m1 + di[cur]) % k, (m2 + di[cur] * num[cur - 1]) % k, true);
	if (!judge)  ans = ans0;     //如果是上界因为单独处理，需要判断
	return ans0;
}
int solve(int nu) {
	if (nu == 0)  return 1;
	n = 0;
	while (nu) {
		di[++n] = nu % 10;
		nu /= 10;
	}
	return dp(n, 0, 0, true);
}

int main() {
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		memset(d, 0, sizeof(d));
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		cin >> a >> b >> k;
		pow_10();
		if (k > 100) { cout << 0 << '\n'; continue; }
		int bb = solve(b);
		int aa = solve(a-1);
		cout << solve(b) - solve(a - 1) << '\n';
	}
	return 0;
}