求正整数n划分因子乘积最大的一个划分及此乘积

问题描述：

   给定一个正整数n, 则在n所有的划分中, 求因子乘积最大的一个划分及此乘积。

   例如：8 = {8}, {7, 1}, {6, 2}, {5, 3}, {4, 4}, {3, 3, 2}, {2, 2, 2, 2} 等，那么在这些当中，3 * 3 * 2 的乘积最大，所以输出整个划分{3,3,2}和这个乘积18.

算法分析：

 一个结论：对于一个大于等于4的正整数m，存在一个2块划分的因子，这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。

证明如下：

   (1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1*m2 >= m证: 令m1 = int(m/2),  则 m1 >= 2 ， m2 = m-m1; 那么m2 > 2，并且 m2 >= m/2 >= m1;    m1*m2 >= 2*m2 >= m; 证毕;

　　(2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r * 3^s。现证明 r <= 2;
　　证：若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而2*2*2 < 3*3;
　　所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3；积更大；证毕。
　　综合(1)，(2)，则有：任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为2*2。
　　所以：此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2，因此：
　　   A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
　　  B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
  　　C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2

public int maxsplit(int n){
       int maxmultiply =1;
       if(n<=4){
           if(n<=0){
               return 0;
           }else if(n==1||n==2){
               return 1;
           }else if(n==3){
               return 2;
           }else
               return 4;
       }else{
           int numthree = n/3;
           if(n%3==0){           
               for(int i=1;i<=numthree;i++){
                   maxmultiply = 3*maxmultiply;
               }
           }
           else if(n%3==1){
               for(int i=0;i<numthree;i++){
                   maxmultiply=3*maxmultiply;
               }
               maxmultiply =maxmultiply*2*2;
           }else if(n%3==2){
               for(int i=0;i<numthree;i++){
                   maxmultiply=3*maxmultiply;
               }
               maxmultiply =maxmultiply*2;
           }
           return maxmultiply;
       }
   }

将上述结论推广为一般情形便是：
　　把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和：   S=a1+a2+…+an，则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。

例2：把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。
　　若1作因数，则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。
若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。
若和比1993大k（k≠1），则去掉等于k的那个数，便可使乘积最大。
所以n=63。因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成（2+3+…+21）+（23+24+…+63）

这一形式时，这些数的乘积最大，其积为  2×3×…×21×23×24×…×63。