POJ 3692 二分图最大匹配

最新推荐文章于 2021-04-02 00:23:40 发布

原创最新推荐文章于 2021-04-02 00:23:40 发布 · 481 阅读

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本文探讨了如何运用二分图匹配解决幼儿园小朋友选择问题，通过构建图模型和最大匹配算法，实现了对幼儿选择的有效分析。文章详细解释了问题背景、解题策略及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最近开始学二分图，找了些二分图模板题。

题意：幼儿园里有一些男孩和女孩，男孩间都互相认识，女孩间也都互相认识，并且有一些男孩认识一些女孩，现在幼儿园老师要挑出一些小朋友，要求是挑出的人全都互相认识，问最多能挑出多少人。

用X表示所有女孩的集合，Y表示所有男孩的集合，建图时转换一下思路，对于任意一个女孩x，对每一个与x不认识的男孩y都连上边xy。这样图中所有边的左右顶点都是互相不认识的小朋友，求出当前的二分图的最大匹配数n，这表示至少有n个小朋友不能被挑出。证明如下：

设男孩数为b，女孩数为g。

先证明能够挑出b+g-n个小朋友。

挑出所有男孩，共b个，再挑出所有不存在于该最大匹配中的女孩，共g-n个，于是得到b+g-n个小朋友，得证。

再证明不可能挑出大于b+g-n个的小朋友。

用反证法：

设挑出x个男孩，y个女孩，假设可以挑出大于b+g-n个的小朋友，即有x+y >= b+g-n+1。

先证明x > b-n。

若x <= b-n，则y >= g+1，矛盾。同理，y > g-n。

所以在x个男孩中，至少有x-(b-n)个存在于某个该二分图的最大匹配M中；同理，在y个女孩中，至少有y-(g-n)个存在与M中。

由于假设，在M中任意一条边的两个顶点都不被同时挑中，所以对于被挑中的男孩数和女孩数的总和s必然有s <= n，然而

s >= x-(b-n)+y-(g-n) = x+y-b-g+2*n >= n+1，矛盾！

所以不可能挑出大于b+g-n个的小朋友。

于是问题就转化成了一个二分图最大匹配问题。

下面是代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctype.h>
#include<bitset>
#include<map>
# pragma comment (linker,"/STACK:16777216")

using namespace std;

const int MAXN = 300;
const int INF  = 2100000000;
const double esp = 1e-9;

int b, g, k;
int mat[MAXN][MAXN];
bool vis[MAXN];
int link[MAXN];


bool find(int x)
{
    for(int i = 1; i <= b; i++)
    {
        if(!vis[i] && mat[x][i] == 0)
        {
            vis[i] = 1;
            if(!link[i] || find(link[i]))
            {
                link[i] = x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}


int main()
{

    //freopen("C:/Users/zts/Desktop/in.txt", "r", stdin);
    int cas = 0;
    while(cin >> g >> b >> k)
    {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
        memset(link, 0, sizeof(link));
        if(b == 0) return 0;

        int u, v;
        for(int i = 0; i < k; i++)
        {
            cin >> u >> v;
            mat[u][v] = -1;
        }

        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= g; i++)
        {
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            if(find(i)) ans += 1;
        }

        printf("Case %d: %d\n", ++cas, g+b-ans);
    }

    return 0;
}