NOIP2023模拟19联测40 异或连通

题目大意

有一个有$n$个点$m$条边的图，第$i$条边有一个边权$c_i$。

给定$K$，有$q$次询问，每次给出一个$x$，如果$c_i\oplus x<K$，则这条边存在，否则不存在。对于每个询问，输出互相连通的点对个数（即有多少$1\le i<j\le n$使得$i,j$连通）。

$1\le n,m\le 10^5,0\le c_i,x,K<2^{30}$

时间限制$2000ms$，空间限制$512MB$。

题解

我们可以想到，比较$c_i\oplus x$和$K$，如果$c_i\oplus x$和$K$的前$t-1$位都是相同的：

• 当$K$的第$t$位为$1$时，$c_i\oplus x$的第$t$位为$0$就一定可以取到，否则继续比较
• 当$K$的第$t$位为$0$时，$c_i\oplus x$的第$t$位为$0$才能满足条件，还要继续往下比较

那我们把$c_i\oplus K$存储到字典树中，判断哪些$x$可以使边$i$存在。设当前放到了第$t$位，$c_i\oplus K$的第$t$位为$p$：

• 如果$K$的第$t$位为$1$，则当$x$的前$t-1$位和$c_i\oplus K$的前$t-1$位相同且$x\oplus c_i$的第$t$位为$0$时（即$x$的第$t$位与$c_i$的第$t$位相同）一定可以取到，在对应子树的根节点加上这条边，然后按$p$继续往下遍历
• 如果$K$的第$t$位为$0$，则继续按$p$继续往下遍历

然后，我们遍历这棵字典树，来求出每个叶子节点的答案。对于每个点，先将其能取到的边用并查集维护并计算贡献，然后遍历其子树，求完子树中叶子节点的答案之后再将这个点在图上连的边删除，所以要用带删并查集。带删并查集中要用栈来维护加入了哪些边，因为不能路径压缩，所以要用$\text{dsu on tree}$来保证每次查找的时间复杂度是$O(\log n)$的。删边时不断删去栈顶的边并将栈顶弹出，直到这个点所有在先前加入栈中的边都被删完。

这样的话，每个叶子节点的答案都算出来了，查询就是$O(1)$的了。

时间复杂度为$O(n\log V\log n+m)$，其中$V$表示$c_i,x,K$的值域。

可以参考代码帮助理解。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
int n,m,q,K,tot=1,tp=0,fa[N+5],siz[N+5];
int wh[N+5],ch[32*N+5][2];
long long now=0,ans[32*N+5];
pair<int,int>st[N+5];
vector<int>v[32*N+5][2];
struct node{
	int x,y,w;
}w[N+5];
void pt(int w,int id){
	int q,vq=1;
	for(int i=30;i>=0;i--){
		if((K>>i)&1){
			v[vq][(w>>i)&1].push_back(id);
		}
		q=((K^w)>>i)&1;
		if(!ch[vq][q]) ch[vq][q]=++tot;
		vq=ch[vq][q];
	}
}
int gt(int x){
	int q,vq=1;
	for(int i=30;i>=0;i--){
		q=(x>>i)&1;
		if(!ch[vq][q]) ch[vq][q]=++tot;
		vq=ch[vq][q];
	}
	return vq;
}
int find(int ff){
	if(fa[ff]!=ff) return find(fa[ff]);
	return ff;
}
long long gts(int x){
	return 1ll*x*(x-1)/2;
}
void merge(int x,int y){
	int v1=find(x),v2=find(y);
	if(v1==v2) return;
	if(siz[v1]<siz[v2]) swap(v1,v2);
	now-=gts(siz[v1])+gts(siz[v2]);
	fa[v2]=v1;
	siz[v1]+=siz[v2];
	st[++tp]={v1,v2};
	now+=gts(siz[v1]);
}
void del(int x,int y){
	now-=gts(siz[x]);
	siz[x]-=siz[y];
	fa[y]=y;
	now+=gts(siz[x])+gts(siz[y]);
}
void stpop(int tmp){
	while(tp>tmp){
		del(st[tp].first,st[tp].second);
		--tp;
	}
}
void solve(int u){
	ans[u]=now;
	if(ch[u][0]){
		int tmp=tp;
		for(int p:v[u][0]){
			merge(w[p].x,w[p].y);
		}
		solve(ch[u][0]);
		stpop(tmp);
	}
	if(ch[u][1]){
		int tmp=tp;
		for(int p:v[u][1]){
			merge(w[p].x,w[p].y);
		}
		solve(ch[u][1]);
		stpop(tmp);
	}
}
int main()
{
//	freopen("xor.in","r",stdin);
//	freopen("xor.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&q,&K);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&w[i].x,&w[i].y,&w[i].w);
		pt(w[i].w,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;siz[i]=1;
	}
	for(int i=1,x;i<=q;i++){
		scanf("%d",&x);
		wh[i]=gt(x);
	}
	solve(1);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		printf("%lld\n",ans[wh[i]]);
	}
	return 0;
}