2023NOIP A层联测41 flandre

题目大意

有$n$种烟花，每种烟花有两个参数$a$和$b$。其中$a$是一个给定的整数（可以为负），$b$的初始值为$a$。

将烟花按一定顺序燃放，先燃放的烟花会使得后面$a$值较小的$b$值更小，$a$值较大的$b$值更大。

具体来说，对于所有$i<j$，即$i$在$j$之前燃放，则有一以下三种情况：

• $a_i<a_j$，则$b_j\leftarrow b_j+k$
• $a_i=a_j$，则$b_j$不变
• $a_i>a_j$，则$b_j\leftarrow b_j-k$

其中$k$为给定常数。你可以选择若干个烟花（可以全选或不选，不能重复选择）按一定顺序燃放，假设选择了$m$个，求$\sum _{i=1}^m{b}_i$的最大值以及能得到这个最大值的方案，如有多个方案则输出任意一种方案即可。

$1\le n\le 10^6,0\le k\le 10^6,-10^6\le a_i\le 10^6$

题解

记$\sum _{i=1}^m{b}_i$为$sum$。

我们先假设所有烟花的$a$值都不同，此时我们选择了$m$个烟花，则肯定要将这些烟花按$a$值从小到大顺序来燃放才能使$sum$更大。那么

$$sum=\frac{m(m-1)}{2}+\sum _{i=1}^m{a}_i$$

那么，我们只需要将$a$从大到小排序，每次选择最大的若干个$a_i$，并计算此时的$sum$值来更新答案即可。

那存在相同的$a$值的情况怎么处理呢？我们发现，相同的$a$值对答案的贡献是相同的，也就是说这些有相同$a$值的烟花要么全选，要么全都不选，我们同样可以按上面的方法，每次选择最大的若干个$a_i$，并计算此时的$sum$值来更新答案。每多选择一个$a_i$，其贡献为$a_i+cnt\times k$，其中$cnt$为已选择的烟花中$a$值与$a_i$不同的烟花数。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000000;
int n,bz=0,lst,b1=0,b[N+5];
long long k,sum=0,tmp=0,ans=0;
struct node{
	long long v;
	int id;
}a[N+5];
bool cmp(node ax,node bx){
	return ax.v>bx.v;
}
long long gt(int x){
	return 1ll*x*(x-1)/2;
}
int main()
{
//	freopen("flandre.in","r",stdin);
//	freopen("flandre.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i].v);a[i].id=i;
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i==1||a[i].v!=a[i-1].v) lst=i-1;
		sum+=a[i].v;
		tmp+=lst*k;
		if(sum+tmp>ans){
			ans=sum+tmp;bz=i;
		}
	}
	for(int i=bz;i>=1;i--){
		b[++b1]=a[i].id;
	}
	printf("%lld %d\n",ans,b1);
	for(int i=1;i<=b1;i++){
		printf("%d ",b[i]);
	}
	return 0;
}