2023NOIP A层联测39 草莓列车

题目大意

给定一个序列$a_i$，有$m$次操作，形如l r v，表示将$[l,r]$的每个$a_i$变为$\max (a_i,v)$。求最终的序列。

为了避免过量的输入，此题使用特殊的读入格式。

第一行有三个整数$n,m,type$，其中$type$表示数据类型。

当$type=1$时，每次操作的区间都满足左端点$l=1$。

第二行有$n$个数，表示初始序列。

第三行有两个数$x_0,seed$，使用示例如下：

namespace Maker{
	unsigned int x0,seed;
	void init(){scanf("%u%u",&x0,&seed);}
	inline unsigned int getnum(){
		x0=(x0<<3)^x0;
		x0=((x0>>5)+seed)^x0;
		return x0;
	}
}
int n,m,typ;
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&typ);
	// input n numbers as a[1...n]
	Maker::init();
	for(int i=1; i<=m; ++i){
		int l=Maker::getnum()%n+1,r=Maker::getnum()%n+1;
		unsigned int v=Maker::getnum();
		if(l>r) swap(l,r);
		if(typ==1) l=1;
 		// do something
 	}
	// output n numbers of a[1...n]
}

数据范围

$1\le n\le 10^5,1\le m\le 10^7$

题解

对于每次操作l r v，我们将$r$和$v$存储在维护区间左端点$l$的$vector$中。

然后，从左到右枚举左端点$i$。对于每个以$i$为左端点的操作，设这个操作的右端点为$r$，权值为$v$，则将$r$及其左边的部分全部对$v$取$\max$，然后查询位置$i$的值。这里涉及区间修改和单点查询。

区间修改的次数为$O(m)$，单点查询的次数为$O(n)$，用线段树的话是$O((m+n)\log n)$，会$\text{TLE}$。下面考虑优化。

因为区间修改的次数比单点查询的次数大很多，而且区间修改的速度肯定不快于单点查询，所以我们可以将区间修改变成对$r$的单点修改，将单点查询变成查询$i$到$n$的最大值，那么现在要求的操作就是单点修改和区间查询。

考虑分块，单点修改是$O(1)$的，区间查询是$O(\sqrt{n})$的，那么总时间复杂度为$O(m+n\sqrt{n})$，是可以过的。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Maker{
	unsigned int x0,seed;
	void init(){scanf("%u%u",&x0,&seed);}
	inline unsigned int getnum(){
		x0=(x0<<3)^x0;
		x0=((x0>>5)+seed)^x0;
		return x0;
	}
}
const int N=100000,B=350;
int n,m,typ,bl;
unsigned int a[N+5],w[N+5],tw[B+5];
struct node{
	int x;
	unsigned int v;
};
vector<node>p[N+5];
int pos(int i){
	return (i-1)/bl+1;
}
void ch(int x,unsigned int v){
	w[x]=max(w[x],v);
	tw[pos(x)]=max(tw[pos(x)],v);
}
unsigned int find(int l,int r){
	int vl=pos(l),vr=pos(r);
	unsigned int re=0;
	if(vl==vr){
		for(int i=l;i<=r;i++) re=max(re,w[i]);
		return re;
	}
	for(int i=l;i<=vl*bl;i++) re=max(re,w[i]);
	for(int i=vl+1;i<=vr-1;i++) re=max(re,tw[i]);
	for(int i=vr*bl-bl+1;i<=r;i++) re=max(re,w[i]);
	return re;
}
int main()
{
//	freopen("train.in","r",stdin);
//	freopen("train.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&typ);bl=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%u",&a[i]);
	Maker::init();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int l=Maker::getnum()%n+1,r=Maker::getnum()%n+1;
		unsigned int v=Maker::getnum();
		if(l>r) swap(l,r);
		if(typ==1) l=1;
		p[l].push_back((node){r,v});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(node j:p[i]) ch(j.x,j.v);
		a[i]=max(a[i],find(i,n));
		printf("%u ",a[i]);
	}
	return 0;
}