NOIP2023模拟2联测23 集训

题目大意

给定$n$个数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，你需要找到一个集合$S$，使得$S$中严格大于$S$的平均数的数字个数尽量多，输出最多的个数。

注意：这里的集合是可重集，数字可以重复。

$1\le n\le 10^6,1\le a_i\le 10^9$

题解

首先，我们将$a$从小到大排序。

枚举第一个严格大于$S$的平均数的数$i$。因为比平均数小的数肯定越多越好，所以我们可以取$1$到$i-1$之间的所有数。

为了让平均数尽量小，在选择严格大于$S$的平均数的数的时候肯定要选尽量小的数。也就是说，严格大于$S$的平均数的数是$a_i$和$a_i$之后的连续的一段数，设这段数是$a_i$到$a_p$，那也就是说我们要选择的数是$a_1$到$a_p$，这里的$p$需要满足$\frac{su{m}_p}{p}<a_i$（其中$\frac{su{m}_p}{p}$指这$p$个数的平均数），也就是$su{m}_p<a_i\times p$。为了使严格大于$S$的平均数的数更多，我们需要求满足条件的最大的$p$。

我们发现，满足条件的最大的$p$是随$i$的增大而增大（或者不变）的，那么我们可以用一个指针来求$p$。对于每个$i$和其对应的$p$，严格大于$S$的平均数的数的数量为$p-i+1$，用$p-i+1$来更新答案即可。

时间复杂度为$O(n\log n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000000;
int n,p=1,ans=0,a[N+5];
long long sum[N+5];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(p+1<=n&&sum[p+1]<1ll*(p+1)*a[i]) ++p;
		ans=max(ans,p-i+1);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}