2023NOIP A层联测9 紫罗兰

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#题解 #c++

于 2023-10-14 12:25:41 首次发布

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文章讨论了在一个无向图中，通过删除边并使用广度优先搜索(BFS)找出每条边对最小环数量的贡献，最后计算总贡献并除以最小环大小，给出答案，时间复杂度为O(m^2+n*m)。

题目大意

有一个 $n$ 个点 $m$ 边的无向图，一个环的大小为这个环上的点的个数（注意这里的环的大小必须大于等于 $3$ ），求这个图上有多少本质不同的最小环。

$1≤n≤3000,1≤m≤60001\leq n\leq 3000,1\leq m\leq 6000$

我们考虑对于每条边，求有多少个最小环在这条边上。

对于每条边，设这条边上的两个点为 $x$ 和 $y$ ，则我们可以在图上删去这条边，然后求 $x$ 到 $y$ 的最短路。因为边权均为 $1$ ，所以用一个 $b f s$ 即可 $O (m + n)$ 求出 $x$ 到所有点的最短路和最短路的数量。那么，包含这条边的最小环的数量就是点 $x$ 到点 $y$ 的最短路的数量，这也就是这条边对答案的贡献。

将所有贡献加在一起，再除最小环的大小（每个最小环被每条边都算了一次贡献，而环的边数等于环的点数，也就是最小环的大小），即可得到答案。

时间复杂度为 $O(m^2+nm)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,now=100000,x,y,tot=0,d[20005],l[20005],r[20005],z[20005],dis[3005];
long long ans=0,v[3005];
struct vd{
	int x,y;
}w[20005];
queue<int>q;
void add(int xx,int yy){
	l[++tot]=r[xx];d[tot]=yy;r[xx]=tot;
}
void dd(int v0,int ww){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dis[i]=100000;
		v[i]=0;
	}
	dis[v0]=0;
	v[v0]=1;
	q.push(v0);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=r[u];i;i=l[i]){
			if(z[i]) continue;
			if(dis[u]+1<dis[d[i]]){
				dis[d[i]]=dis[u]+1;
				v[d[i]]=v[u];
				q.push(d[i]);
			}
			else if(dis[u]+1==dis[d[i]]){
				v[d[i]]+=v[u];
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
		w[i]=(vd){x,y};
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=w[i].x;y=w[i].y;
		z[i*2-1]=z[i*2]=1;
		dd(x,y);
		if(dis[y]<now){
			now=dis[y];
			ans=v[y];
		}
		else if(dis[y]==now){
			ans+=v[y];
		}
		z[i*2-1]=z[i*2]=0;
	}
	printf("%lld",ans/(now+1));
	return 0;
}