2023NOIP A层联测9 长春花

原创已于 2024-01-23 08:18:40 修改 · 222 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#题解 #c++

于 2023-10-14 11:22:45 首次发布

题解专栏收录该内容

348 篇文章

订阅专栏

文章讨论了在给定质数p的情况下，如何找到函数f(x)的最小值，满足模方程(a^2+b^2)modp=x。通过暴力枚举和优化，确定解决方案的时间复杂度为O(n*mx)，其中mx小于等于31。

题目大意

给定一个质数 $p$ ，对于每个 $0≤x<p0\leq x<p$ ，设 $f (x)$ 表示最小的非负整数 $a$ ，使得存在一个非负整数 $b$ ，满足 $p=x(a^2+b^2)\bmod p=x$ 。

求 $max⁡{f(0),f(1),f(2),…,f(p−1)}\max\{f(0),f(1),f(2),\dots,f(p-1)\}$ 的值。

$2≤p≤1052\leq p\leq 10^5$ ，保证 $p$ 为质数。

题解

题意即求一个最小的 $m x$ ，使得对于每个 $0≤i<p0\leq i<p$ ，都存在 $0≤a≤mx0\leq a\leq mx$ 和 $0≤b<p0\leq b<p$ 使得 $p=i(a^2+b^2)\bmod p=i$ 。

我们可以试着打暴力，发现当 $2≤p≤1052\leq p\leq 10^5$ 且 $p$ 为质数时， $m x$ 不超过 $31$ 。所以，我们只需要从 $0$ 到 $31$ 枚举 $a$ ，从 $0$ 到 $p - 1$ 枚举 $b$ ，并在 $p(a^2+b^2)\bmod p$ 的位置上打上标记。当 $0$ 到 $p - 1$ 都被打上标记时，当前的 $a$ 即为答案。

时间复杂度为 $O(n⋅mx)O(n\cdot mx)$ ，其中 $m x$ 为答案， $mx≤31mx\leq 31$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p,nd,v[100005];
int main()
{
	scanf("%d",&p);nd=p;
	for(int i=0;i<100;i++){
		for(int j=0;j<p;j++){
			int tmp=(1ll*i*i+1ll*j*j)%p;
			if(!v[tmp]){
				++v[tmp];--nd;
			}
		}
		if(!nd){
			printf("%d",i);
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}