多校联测11 模板题

原创于 2023-10-07 21:34:35 发布 · 214 阅读

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文章讲述了如何利用多项式乘法计算两个多项式的乘积，并针对特定质数求和的模运算问题进行优化，通过构造系数并使用前缀和减少时间复杂度，最后提供了优化后的代码实现。

题目大意

给你四个整数 $n, m, see d, w$ ，其中 $n, m$ 为两个多项式 $A(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$ 和 $B(x)=\sum\limits_{i=0}^mb_ix^i$ 的最高次数， $see d, w$ 是用来生成 $a_i$ 和 $b_i$ 的参数。

设 $C(x)=A(x)B(x)=\sum\limits_{i=0}^{n+m}c_ix^i$ 。

有 $q$ 次询问，第 $i$ 次输入 $l_i,r_i$ ，求 $\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}c_j$ 对 $1145141999$ （ $1145141999=2\times 7\times 11\times 13\times 17\times 33647+1$ ，是一个质数）取模后的值。

构造 $a_i$ 和 $b_i$ 的代码如下，可以对其进行修改来完成此题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long u64;
const int p=1145141999;
int a[10000005],b[10000005];
int n,m,q,w;
u64 seed;
u64 rnd()
{
	u64 x = seed;
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 7;
	x ^= x << 17;
	return seed = x;
}
int main(){
	scanf("%d%d%llu%d",&n,&m,&seed,&w);
	scanf("%d",&q);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=rnd()%w;
	for(int i=0;i<=m;++i)b[i]=rnd()%w;
	int l,r;
	for(int i=1;i<=q;++i){
		scanf("%d%d",&l,&r);
	}
	return 0;
}

$1\leq n\leq 6\times 10^6,1\leq q\leq 25,1\leq w\leq 1145141999$

题解

$C(x)=A(x)B(x)=\sum\limits_{i=0}^{n+m}(\sum\limits_{j=0}^ia_jb_{i-j})x^i$

也就是说， $c_i=\sum\limits_{j=0}^ia_jb_{i-j}$ 。

那么， $\sum\limits_{i=0}^tc_i=\sum\limits_{i=0}^t\sum\limits_{j=0}^ia_jb_{i-j}=\sum\limits_{j=0}^ta_j\sum\limits_{i=0}^{t-j}b_i$

令 $b_i$ 的前缀和为 ${sum}_i$ ， $S(t)=\sum\limits_{i=0}^ta_i{sum}_{t-i}$ ，则答案为 $S (r) - S (l - 1)$ 。

求 $S (t)$ 的时间复杂度为 $O (n)$ ，所以总时间复杂度为 $O (n q)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long u64;
const long long p=1145141999;
int a[20000005],b[20000005],sum[20000005];
int n,m,q,w;
u64 seed;
u64 rnd()
{
	u64 x = seed;
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 7;
	x ^= x << 17;
	return seed = x;
}
long long gt(int t){
	long long re=0;
	for(int i=0;i<=t;i++){
		re=(re+1ll*a[i]*sum[t-i])%p;
	}
	return re;
}
int main(){
	scanf("%d%d%llu%d",&n,&m,&seed,&w);
	scanf("%d",&q);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=rnd()%w;
	for(int i=0;i<=m;++i)b[i]=rnd()%w;
	sum[0]=b[0];
	for(int i=1;i<=n+m;i++) sum[i]=(1ll*sum[i-1]+b[i])%p;
	int l,r;
	for(int i=1;i<=q;++i){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%lld\n",(gt(r)-gt(l-1)+p)%p);
	}
	return 0;
}