文章提供了三个关于定积分的解题示例。首先，通过比较1/(1+x^2)与1/(1+x^4)在[0,1]区间上的积分，证明了前者小于后者。其次，解决了三个积分I1,I2,I3的大小关系问题，得出I2<I1<I3的结论。最后，对于满足特定条件的连续函数f(x)，通过微积分的方法求解了当x≠0时f(x)的表达式。
前置知识：定积分解题的一些特殊方法
习题1
比较定积分的大小：
∫ 0 1 1 1 + x 2 d x ‾ ∫ 0 1 1 1 + x 4 d x \int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx\underline{\qquad}\int_0^1\dfrac{1}{1+x^4}dx ∫011+x21dx∫011+x41dx
解：
\qquad
因为在
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上
1
1
+
x
2
≤
1
1
+
x
4
\dfrac{1}{1+x^2}\leq\dfrac{1}{1+x^4}
1+x21≤1+x41，所以
∫
0
1
1
1
+
x
2
d
x
≤
∫
0
1
1
1
+
x
4
d
x
\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx\leq\int_0^1\dfrac{1}{1+x^4}dx
∫011+x21dx≤∫011+x41dx
习题2
设 I 1 = ∫ 1 2 ln x d x , I 2 = ∫ 1 2 ln 2 x d x , I 3 = ∫ 1 2 x ln x d x I_1=\int_1^2\ln xdx,I_2=\int_1^2\ln^2 xdx,I_3=\int_1^2x\ln xdx I1=∫12lnxdx,I2=∫12ln2xdx,I3=∫12xlnxdx，则下列不等式正确的是 ( ) (\qquad) ()。
A . I 3 < I 2 < I 1 B . I 1 < I 2 < I 3 C . I 2 < I 1 < I 3 I 2 < I 3 < I 1 A.I_3<I_2<I_1\qquad B.I_1<I_2<I_3\qquad C.I_2<I_1<I_3\qquad I_2<I_3<I_1 A.I3<I2<I1B.I1<I2<I3C.I2<I1<I3I2<I3<I1
解：
\qquad
因为在
[
1
,
2
]
[1,2]
[1,2]上
ln
x
−
ln
2
x
=
ln
x
(
1
−
ln
x
)
>
0
\ln x-\ln^2x=\ln x(1-\ln x)>0
lnx−ln2x=lnx(1−lnx)>0
\qquad 所以 ∫ 1 2 ln x d x > ∫ 0 1 ln 2 x d x \int_1^2\ln xdx>\int_0^1\ln^2 xdx ∫12lnxdx>∫01ln2xdx，即 I 1 > I 2 I_1>I_2 I1>I2
\qquad 因为在 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]上 x ln x − ln x = ln x ( x − 1 ) > 0 x\ln x-\ln x=\ln x(x-1)>0 xlnx−lnx=lnx(x−1)>0
\qquad 所以 ∫ 1 2 x ln x d x > ∫ 0 1 ln x d x \int_1^2x\ln xdx>\int_0^1\ln xdx ∫12xlnxdx>∫01lnxdx，即 I 3 > I 1 I_3>I_1 I3>I1
\qquad 所以 I 2 < I 1 < I 3 I_2<I_1<I_3 I2<I1<I3，选 C C C
习题3
设 f ( x ) f(x) f(x)在 R R R上连续，满足 ∫ 0 1 f ( x t ) d t = f ( x ) + x sin x \int_0^1f(xt)dt=f(x)+x\sin x ∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，且 f ( π 2 ) = 0 f(\dfrac{\pi}{2})=0 f(2π)=0，求当 x ≠ 0 x\neq 0 x=0时 f ( x ) f(x) f(x)的值。
解：
∫
0
1
f
(
x
t
)
d
t
=
1
x
∫
0
1
f
(
x
t
)
d
(
x
t
)
=
1
x
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
\qquad \int_0^1f(xt)dt=\dfrac 1x\int_0^1f(xt)d(xt)=\dfrac 1x\int_0^xf(t)dt
∫01f(xt)dt=x1∫01f(xt)d(xt)=x1∫0xf(t)dt
\qquad 于是 ∫ 0 x f ( t ) d t = x f ( x ) + x 2 sin x \int_0^xf(t)dt=xf(x)+x^2\sin x ∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx
\qquad 两边同时求导得 f ( x ) = f ( x ) + x f ′ ( x ) + 2 x sin x + x 2 cos x f(x)=f(x)+xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x f(x)=f(x)+xf′(x)+2xsinx+x2cosx
\qquad 整理得 f ′ ( x ) = − 2 sin x − x cos x f'(x)=-2\sin x-x\cos x f′(x)=−2sinx−xcosx
\qquad 所以 f ( x ) = ∫ ( − 2 sin x − x cos x ) d x = cos x − x sin x + C f(x)=\int(-2\sin x-x\cos x)dx=\cos x-x\sin x+C f(x)=∫(−2sinx−xcosx)dx=cosx−xsinx+C
\qquad 将 f ( π 2 ) = 0 f(\dfrac{\pi}{2})=0 f(2π)=0代入得 0 − π 2 + C = 0 0-\dfrac{\pi}{2}+C=0 0−2π+C=0，解得 C = π 2 C=\dfrac{\pi}{2} C=2π
\qquad 所以 f ( x ) = cos x − x sin x + π 2 f(x)=\cos x-x\sin x+\dfrac{\pi}{2} f(x)=cosx−xsinx+2π
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