积分存在的条件

前置知识：黎曼积分的概念

前言

这部分的内容是对积分存在的条件的详细证明，积分基础较好的同学可以略过。如果要浏览的话，一定要看前置知识，本文对前置知识中的概念性知识不再解释。

积分存在的条件

设$f$在$[a,b]$上有界，且上确界为$M$，下确界为$m$，$T$为$[a,b]$的任意分割：

$$T:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$

记$M_i$和$m_i$为$[x_{i-1},x_i]$的上确界和下确界，任取${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，令

$$U(f,T)=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1})$$

$$L(f,T)=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$$

$$\sigma (f,T)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$$

则

$$m(b-a)\le L(f,T)\le \sigma (f,T)\le U(f,T)\le M(b-a)$$

并称

∫ ‾ a b f ( x ) d x = inf ⁡ { U ( f , T ) ∣ T 为 [ a , b ] 的分割 } \overline{\int}_a^bf(x)dx=\inf\{U(f,T)|T为[a,b]的分割\} ∫​ab​f(x)dx=inf{U(f,T)∣T为[a,b]的分割}

∫ ‾ a b f ( x ) d x = sup ⁡ { L ( f , T ) ∣ T 为 [ a , b ] 的分割 } \underline{\int}_a^bf(x)dx=\sup\{L(f,T)|T为[a,b]的分割\} ∫​ab​f(x)dx=sup{L(f,T)∣T为[a,b]的分割}

为$f$在$[a,b]$上的上积分和下积分。

其中 sup ⁡ { A } \sup\{A\} sup{A}表示集合$A$的上确界， inf ⁡ { B } \inf\{B\} inf{B}表示集合$B$的下确界。

命题

设$f$在$[a,b]$上有界，且分别以$M,m$为上、下确界，$T$为$[a,b]$的任意分割，$T_k$是在$T$的分点中再加入$k$个新分点所得到的$[a,b]$的分割，则有

$$0\le U(f,T)-U(f,T_k)\le k|T|\cdot (M-m)$$

$$0\le L(f,T_k)-L(f,T)\le k|T|\cdot (M-m)$$

证明先推加一个新分点的不等式，然后加$k$次，即可得到上述不等式。

定理

设$f$在$[a,b]$上有界，则$p$是$q$的充要条件。

$p:\forall \epsilon >0$，存在$[a,b]$的分割$T$，使得

$$U(f,T)-L(f,T)<\epsilon$$

$q:f\in R[a,b]$

证明

充分性：
依题意，$\forall \epsilon <0$

$$0\le {\overline{\int }}_a^{b}f(x)dx-{\underline{\int }}_a^{b}f(x)dx\le U(f,T)-L(f,T)<\epsilon$$

记$I={\overline{\int }}_a^{b}f(x)dx={\underline{\int }}_a^{b}f(x)dx$。由上积分的定义，$\forall \epsilon >0$，存在$[a,b]$的分割$T_0$，使得

$$0\le U(f,T_0)-I<\frac{\epsilon }{2}$$

取${\delta }_1=\frac{\epsilon }{2k(M-m)}$，其中$M$和$m$为$f$在$[a,b]$上的上确界和下确界。对于$[a,b]$上任意满足$|T|<{\delta }_1$的分割$T$，将$T$与$T_0$的分点合并得到的$[a,b]$的分割记为$T^{\prime }$，则

$$0\le U(f,T)-I\le U(f,T^{\prime })+k|T|\cdot (M-m)-I\le U(f,T_0)-I+k|T|(M-m)<\epsilon$$

同理，存在${\delta }_2>0$，对于$[a,b]$上任意满足$|T|<{\delta }_1$的分割$T$

$$0\le I-L(f,T)<\epsilon$$

又因为

$$L(f,T)\le \sigma (f,T)\le U(f,T)$$

所以，对于任意满足 ∣ T ∣ < δ = min ⁡ { δ 1 , δ 2 } |T|<\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} ∣T∣<δ=min{δ1​,δ2​}的分割$T$，都有

$$|\sigma (f,T)-I|<\epsilon$$

所以$f\in R[a,b]$，且${\int }_a^{b}f(x)dx=I$

必要性：

记$I={\int }_a^{b}f(x)dx$，则$\forall \epsilon >0$，存在$[a,b]$的分割$T$，使得无论${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$如何取，都有

$$|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})-I|<\frac{\epsilon }{3}$$

将上式对${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$取上确界和下确界，得到

$$|U(f,T)-I|\le \frac{\epsilon }{3}$$

$$|L(f,T)-I|\le \frac{\epsilon }{3}$$

由此可得

$$U(f,T)-L(f,T)<\epsilon$$

例题

证明：狄利克雷函数$D(x)$在$[0,1]$上不可积。

证明：

\qquad 对于$[0,1]$的任意分割$T:0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1$，$f$在每个子区间$[x_{i-1},x_i]$中的上确界和下确界分别是$1$和$0$，由此可得

$$U(D,T)-L(D,T)=\sum _{i=1}^n(1-0)(x_i-x_{i-1})=1$$

所以$D(x)$在$[0,1]$上不可积